Exercício 8. (F. 3.3, ex.8) Ache a expansão das funções
e
usando as bases dos exercícios 6 e 7. Use que
Passo 1
O enunciado pede que a gente expresse as funções
e
no espaço
em duas bases ortonormais diferentes:
– a base do Exercício 6, formada por funções que satisfazem condições de contorno do tipo Dirichlet;
– a base do Exercício 7, formada por e
que satisfazem condições de contorno do tipo Neumann.
Em ambos os casos usamos a fórmula de expansão em base ortonormal
– a base do Exercício 6, formada por funções
– a base do Exercício 7, formada por
Em ambos os casos usamos a fórmula de expansão em base ortonormal
onde
.
Passo 2
Base do Exercício 6 (Dirichlet):
,
.
Elas são ortonormais em .
Elas são ortonormais em
Passo 3
Expansão de
na base de Dirichlet.
Coeficiente
Coeficiente
Como
se
é par e
se
,
Logo
Passo 4
Expansão de
na base de Dirichlet.
Coeficiente
Coeficiente
Fazendo integração por partes, chega-se a
portanto
Assim
Passo 5
Base do Exercício 7 (Neumann):
,
.
Passo 6
Expansão de
na base de Neumann.
Logo
Passo 7
Expansão de
na base de Neumann.
Como
para
par e
para
,
Portanto
Resposta
Expansões na base de Dirichlet (
):
Expansões na base de Neumann (
):