Exercício 8. (F. 3.3, ex.8) Ache a expansão das funções f(x)=1 e g(x)=x em[0, l] usando as bases dos exercícios 6 e 7. Use que
phi=sumn=1^inftylang<=phi, phinrang<= phin

Passo 1

O enunciado pede que a gente expresse as funções f(x)=1 e g(x)=x no espaço L^2[0,l] em duas bases ortonormais diferentes:
– a base do Exercício 6, formada por funções phin(x) que satisfazem condições de contorno do tipo Dirichlet;
– a base do Exercício 7, formada por phi0(x) e phin(x) que satisfazem condições de contorno do tipo Neumann.
Em ambos os casos usamos a fórmula de expansão em base ortonormal
phi(x)=sumnllang<= phi,phinrrang<=,phin(x),
onde lang<= u,vrang<==integral0^l u(x),v(x),dx.

Passo 2

Base do Exercício 6 (Dirichlet):
phin(x)=raiz2l;sin!l(tfracnpi xlr),
n=1,2,dots.
Elas são ortonormais em L^2[0,l].

Passo 3

Expansão de f(x)=1 na base de Dirichlet.
Coeficiente
an=llang<= 1,phinrrang<= =raiz2lintegral0^lsin!l(npi xlr),dx =raiztfrac2l;lnpil[1-(-1)^nr]
Como 1-(-1)^n=0 se n é par e =2 se n=2k-1,
a2k-1=2raiz2l(2k-1)pi, a2k=0
Logo
1=sumk=1^infty2raiz2l(2k-1)pi; phi2k-1(x) =sumk=1^infty4(2k-1)pi,sin!l((2k-1)pi xlr)

Passo 4

Expansão de g(x)=x na base de Dirichlet.
Coeficiente
bn=llang<= x,phinrrang<= =raiz2lintegral0^l xsin!l(npi xlr),dx
Fazendo integração por partes, chega-se a
integral0^l xsin!l(tfracnpi xlr)dx =-l^2(-1)^nnpi,
portanto
bn =-raiztfrac2l;l^2(-1)^nnpi =(-1)^n+1,raiz2,l^3/2npi
Assim
x =sumn=1^infty(-1)^n+1,raiz2,l^3/2npi; phin(x) =sumn=1^infty2l(-1)^n+1npi, sin!l(npi xlr)

Passo 5

Base do Exercício 7 (Neumann):
phi0(x)=1raizl,
phin(x)=raiz2l;cos!l(tfracnpi xlr),
n=1,2,dots.

Passo 6

Expansão de f(x)=1 na base de Neumann.
c0=llang<= 1,phi0rrang<= =integral0^l1raizl,dx =raizl, cn=llang<= 1,phinrrang<= =raiztfrac2lintegral0^lcos!l(npi xlr)dx =0
Logo
1=c0,phi0(x) =raizl;1raizl =1

Passo 7

Expansão de g(x)=x na base de Neumann.
d0=llang<= x,phi0rrang<= =1raizlintegral0^l x,dx =l^3/22,
dn=llang<= x,phinrrang<= =raiztfrac2lintegral0^l xcos!l(npi xlr)dx =-raiztfrac2l;l^2l[1-(-1)^nr]n^2pi^2
Como 1-(-1)^n=0 para n par e =2 para n=2k-1,
d2k-1 =-2raiz2,l^3/2(2k-1)^2pi^2, d2k=0
Portanto
x =l^3/22,phi0(x) -sumk=1^infty2raiz2,l^3/2 (2k-1)^2pi^2;phi2k-1(x) =l2 -4lpi^2sumk=1^inftycos!l(tfrac(2k-1)pi xlr) (2k-1)^2

Resposta

Expansões na base de Dirichlet ( sin):
1=sumk=1^infty4(2k-1)pi, sin!l((2k-1)pi xlr), x=sumn=1^infty2l(-1)^n+1npi, sin!l(npi xlr)
Expansões na base de Neumann ( cos):
1=1, x=l2 -4lpi^2sumk=1^infty1(2k-1)^2, cos!l((2k-1)pi xlr)

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