Exercício 7. (F. 3.3, ex.7) Seja o conjunto das funções dadas por . No exercício 4, vimos que este conjunto é ortonormal. Mostre agora que ele é uma base de . Para tanto, siga o seguinte argumento do exercício anterior usando a função dada por:
é uma base (isto é, é ortonormal e completa) em L^2(0,l). Já sabemos da parte 4 que ela é ortonormal. Para provar completude, vamos usar o critério hilbertiano: um sistema ortonormal é completo se a única função ortogonal a todos os seus elementos for a função nula.
Passo 2
Suponha gin L^2(0,l) tal que
integral0^lg(x),phin(x),dx=0 forall,n
Queremos mostrar que isso implica g=0 quase em toda parte.
Passo 3
Definimos a extensão
Observações:
estende-se 2-periodicamente ao .
3. De segue , ou seja, é ímpar relativamente ao ponto .
Passo 4
Considere a base ortonormal de exponenciais 2l-periódicas em L^2(0,2l):
psik(x)=1raiz2le^i,kpi x/l, kin Z
Escrevemos a expansão de Fourier de tilde g:
tilde g(x)=sumkin Zck,psik(x),
com
ck =integral0^2ltilde g(x),psik(x),dx =1raiz2lintegral0^2ltilde g(x),e^-i,kpi x/ldx
Agora, usando as duas simetrias:
(a) De tilde g(2l-x)=-tilde g(x) resulta, via mudança de variável xmapsto2l-x,
ck=-(-1)^kck,
portanto para k par temos (1+1)ck=0implies ck=0.
(b) De integral0^lg(x)cos((n-tfrac12)pi x/l),dx=0 podemos ligar esse integral a Re,c2n-1. De fato, escrevendo
pela hipótese de ortogonalidade de g contra phin. Logo c2n-1=0 para todo n.
Concluímos que ck=0 para todo kin Z, logo tilde gequiv0 em L^2(0,2l).
Passo 5
Como tilde g coincide com g em [0,l], segue g=0 quase em toda parte em (0,l). Portanto a única função ortogonal a todos os phin é a nula, o que prova que phin é completa em L^2(0,l).
Resposta
O sistema phinn=1^infty é ortonormal (exercício 4) e completo pelo argumento acima, logo forma uma base de L^2(0,l).