Exercício 3 Se
e
são de classe
, prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar a fórmula da divergência do produto de uma função escalar
por um campo vetorial
. O conteúdo envolve o conceito de divergência e a regra do produto para derivadas parciais, já que tudo é de classe
.
Passo 2
Escrevemos
em coordenadas cartesianas como
. Então o produto escalar por
é
Pela definição de divergência, temos
Passo 3
Aplicamos a regra do produto a cada termo. Por exemplo,
e analogamente para as derivadas em
e em
.
Passo 4
Somando os três resultados, obtemos
Passo 5
Reconhecendo os somatórios como divergência e produto escalar de
com
, concluímos