Exercício 3 Se f e F são de classe C^2, prove que:
nabla cdot(f F)=f nabla cdot F+nabla f cdot F

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula da divergência do produto de uma função escalar f por um campo vetorial vec F. O conteúdo envolve o conceito de divergência e a regra do produto para derivadas parciais, já que tudo é de classe C^2.

Passo 2

Escrevemos vec F em coordenadas cartesianas como vec F=(F1,F2,F3). Então o produto escalar por f é
fvec F=(f,F1,;f,F2,;f,F3)
Pela definição de divergência, temos
nablacdot(fvec F) =partialpartial xl(f,F1r) +partialpartial yl(f,F2r) +partialpartial zl(f,F3r)

Passo 3

Aplicamos a regra do produto a cada termo. Por exemplo,
partialpartial xl(f,F1r) =f,partial F1partial x +F1,partial fpartial x,
e analogamente para as derivadas em y e em z.

Passo 4

Somando os três resultados, obtemos
nablacdot(fvec F) =fl(tfracpartial F1partial x+tfracpartial F2partial y+tfracpartial F3partial zr) +l(F1,tfracpartial fpartial x+F2,tfracpartial fpartial y+F3,tfracpartial fpartial zr)

Passo 5

Reconhecendo os somatórios como divergência e produto escalar de nabla f com vec F, concluímos
nablacdot(fvec F) =f,nablacdotvec F+nabla fcdotvec F

Resposta

nablacdot(fvec F)=f,nablacdotvec F+nabla fcdotvec F

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