[24] Seja
.
(a) Determine o domínio de
e determine para quais intervalos do domínio de
a função é crescente ou decrescente.
(b) Determine para quais valores de
a equação
tem exatamente duas soluções reais.
(a) Determine o domínio de
(b) Determine para quais valores de
Passo 1
O enunciado define
e pede:
- (a) domínio de
e intervalos de crescimento/decrescimento; - (b) para quais
a equação tem exatamente duas soluções reais.
O conteúdo é estudo de função real via derivada e análise de ramo monotônico.
Passo 2
Primeiro achamos o domínio de
. A única restrição é o expoente
, que exige
. Logo o domínio é
Passo 3
Agora calculamos a derivada usando regra do produto. Escrevendo
e
, temos
logo
Fatorando
e lembrando que
e
, o sinal de
é o mesmo de
.
Passo 4
Os zeros de
são
e
, e unem-se os intervalos de domínio:
Escolhendo pontos teste em cada intervalo, verifica-se
- em
: (crescente); - em
: (decrescente); - em
: (decrescente); - em
: (crescente).
Passo 5
Resumindo a parte (a):
O domínio é . A função é crescente em
e em
, e decrescente em
e em
.
O domínio é
Passo 6
Para (b), analisamos o gráfico qualitativamente e contamos soluções de
. Observamos os extremos:
Nos ramos monotônicos:
- Em
, cresce de até , atingindo valor zero em . - Em
, decresce de até (tende a quando ). - Em
, decresce de (quando ) até . - Em
, cresce de até .
Passo 7
Contagem de soluções de
:
- Para
: há exatamente uma solução em . - Para
: há só . - Para
: duas soluções negativas (uma em e outra em ), nenhuma positiva. - Para
: exatamente uma solução em . - Para
: nenhuma solução (nem nos ramos negativos nem nos positivos). - Para
: exatamente uma solução em . - Para
: duas soluções positivas (uma em e outra em ), nenhuma negativa.
Resposta
(a) Domínio
. Crescente em
e
; decrescente em
e
.
(b) A equação tem exatamente duas soluções reais se, e só se,
(b) A equação