[24] Seja f(x)=(x+6) e^1 / x.
(a) Determine o domínio de f e determine para quais intervalos do domínio de f a função é crescente ou decrescente.
(b) Determine para quais valores de c a equação f(x)=c tem exatamente duas soluções reais.

Passo 1

O enunciado define
f(x) = (x+6)e^1/x
e pede:
  • (a) domínio de f e intervalos de crescimento/decrescimento;
  • (b) para quais c a equação f(x)=c tem exatamente duas soluções reais.
    O conteúdo é estudo de função real via derivada e análise de ramo monotônico.

Passo 2

Primeiro achamos o domínio de f. A única restrição é o expoente 1/x, que exige xneq0. Logo o domínio é
(-infty,0)cup(0,infty)

Passo 3

Agora calculamos a derivada usando regra do produto. Escrevendo u=x+6 e v=e^1/x, temos
u'=1, v'=e^1/xl(-tfrac1x^2r),
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f'(x)=u'v+uv'=e^1/x -x+6x^2e^1/x =e^1/xl(1-x+6x^2r) =e^1/x,x^2-x-6x^2
Fatorando x^2-x-6=(x-3)(x+2) e lembrando que e^1/x>0 e x^2>0, o sinal de f' é o mesmo de (x-3)(x+2).

Passo 4

Os zeros de f' são x=-2 e x=3, e unem-se os intervalos de domínio:
(-infty,-2),(-2,0),(0,3),(3,infty)
Escolhendo pontos teste em cada intervalo, verifica-se
  • em (-infty,-2): (x-3)(x+2)>0 implies f'>0 (crescente);
  • em (-2,0): (x-3)(x+2)<0 implies f'<0 (decrescente);
  • em (0,3): (x-3)(x+2)<0 implies f'<0 (decrescente);
  • em (3,infty): (x-3)(x+2)>0 implies f'>0 (crescente).

Passo 5

Resumindo a parte (a):
O domínio é (-infty,0)cup(0,infty). A função é crescente em (-infty,-2) e em (3,infty), e decrescente em (-2,0) e em (0,3).

Passo 6

Para (b), analisamos o gráfico qualitativamente e contamos soluções de f(x)=c. Observamos os extremos:
f(-2)=4e^-1/2, f(3)=9e^1/3
Nos ramos monotônicos:
  • Em (-infty,-2), f cresce de -infty até 4e^-1/2, atingindo valor zero em x=-6.
  • Em (-2,0), f decresce de 4e^-1/2 até 0 (tende a 0 quando xto0^-).
  • Em (0,3), f decresce de +infty (quando xto0^+) até 9e^1/3.
  • Em (3,infty), f cresce de 9e^1/3 até +infty.

Passo 7

Contagem de soluções de f(x)=c:
  • Para c<0: há exatamente uma solução em (-infty,-6).
  • Para c=0: há só x=-6.
  • Para 0<c<4e^-1/2: duas soluções negativas (uma em (-infty,-2) e outra em (-2,0)), nenhuma positiva.
  • Para c=4e^-1/2: exatamente uma solução em x=-2.
  • Para 4e^-1/2<c<9e^1/3: nenhuma solução (nem nos ramos negativos nem nos positivos).
  • Para c=9e^1/3: exatamente uma solução em x=3.
  • Para c>9e^1/3: duas soluções positivas (uma em (0,3) e outra em (3,infty)), nenhuma negativa.

Resposta

(a) Domínio (-infty,0)cup(0,infty). Crescente em (-infty,-2) e (3,infty); decrescente em (-2,0) e (0,3).
(b) A equação f(x)=c tem exatamente duas soluções reais se, e só se,
cinl(0,,4e^-1/2r);cup;l(9e^1/3,,inftyr)

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