• Exercício 2: Em uma fábrica, 10 \% dos produtos são defeituosos. Se selecionarmos uma amostra aleatória de 5 produtos, qual a probabilidade de nenhum ser defeituoso?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Foi dado que a proporção (probabilidade) de produtos defeituosos na fábrica é \,10\%, ou seja \,p=0,1.
  • Selecionamos uma amostra aleatória de \,5 produtos, ou seja \,n=5.
  • A pergunta é: qual a probabilidade de nenhum produto da amostra ser defeituoso? Em termos probabilísticos: qual é \,P(X=0), onde \,X é o número de produtos defeituosos na amostra.

Passo 2

Qual modelo probabilístico usar e por quê (explicação didática).
  • Quando temos uma sequência de tentativas independentes em que cada tentativa tem só dois resultados (“defeituoso” ou “não defeituoso”), com probabilidade constante de “sucesso” (aqui “sucesso” = defeituoso) em cada tentativa, o número de sucessos em n tentativas segue a distribuição binomial.
  • As condições de um experimento de Bernoulli (que justificam usar binomial) são:
    1. Cada tentativa tem dois resultados possíveis.
    2. As tentativas são independentes.
    3. A probabilidade de sucesso (p) é a mesma em cada tentativa.
  • Como o enunciado dá uma taxa fixa de defeito \,p=0,1 e não fornece tamanho finito da população nem indica seleção sem substituição, é razoável modelar as 5 escolhas como tentativas independentes com p constante; portanto usamos a distribuição binomial.
Agora a fórmula da distribuição binomial (vou explicar cada símbolo):
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
  • Aqui \,n é o número total de tentativas (aqui \,n=5).
  • \,k é o número de sucessos desejados (aqui queremos \,k=0 defeituosos).
  • \,p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui \,p=0,1).
  • \,\binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher quais k tentativas são sucessos entre as n; sua fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde \,n! (fatorial de n) é o produto n\cdot(n-1)\cdots1. No caso k=0 temos sempre \binom{n}{0}=1.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso pedido ( k=0) e simplificar passo a passo.
  • Substituindo n=5, k=0 e p=0,1 na fórmula:
P(X=0)=\binom{5}{0}\,(0,1)^{0}\,(1-0,1)^{5}.
  • Calcule cada parte:
    • \displaystyle \binom{5}{0}=1.
    • \displaystyle (0,1)^{0}=1.
    • \displaystyle 1-0,1=0,9.
  • Logo
P(X=0)=1\cdot1\cdot(0,9)^{5}=(0,9)^{5}.

Passo 4

Calcular numericamente (0,9)^{5} mostrando cada multiplicação (para você conseguir fazer sem calculadora na prova).
  • (0,9)^{2}=0,9\times0,9=0,81.
  • (0,9)^{3}=0,81\times0,9=0,729.
  • (0,9)^{4}=0,729\times0,9=0,6561.
  • (0,9)^{5}=0,6561\times0,9=0,59049.
Portanto a probabilidade pedida é \,0,59049, ou cerca de 59,049\%.

Passo 5

Observações finais rápidas (dicas para a prova).
  • Uma maneira rápida de raciocinar: a probabilidade de um produto NÃO ser defeituoso é \,1-p=0,9; para que os 5 sejam não defeituosos multiplicamos \,0,9 por si mesmo 5 vezes.
  • Se a amostra fosse retirada sem reposição de uma população muito pequena, o modelo exato seria a distribuição hipergeométrica; mas normalmente, em fábricas com muitos itens, a aproximação binomial (independência) é a usada em provas e exercícios.

Resposta

(0,9)^{5}=0,59049

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