- Exercício 2: Em uma fábrica,
dos produtos são defeituosos. Se selecionarmos uma amostra aleatória de 5 produtos, qual a probabilidade de nenhum ser defeituoso?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Foi dado que a proporção (probabilidade) de produtos defeituosos na fábrica é
, ou seja . - Selecionamos uma amostra aleatória de
produtos, ou seja . - A pergunta é: qual a probabilidade de nenhum produto da amostra ser defeituoso? Em termos probabilísticos: qual é
, onde é o número de produtos defeituosos na amostra.
Passo 2
Qual modelo probabilístico usar e por quê (explicação didática).
- Quando temos uma sequência de tentativas independentes em que cada tentativa tem só dois resultados (“defeituoso” ou “não defeituoso”), com probabilidade constante de “sucesso” (aqui “sucesso” = defeituoso) em cada tentativa, o número de sucessos em
tentativas segue a distribuição binomial. - As condições de um experimento de Bernoulli (que justificam usar binomial) são:
- Cada tentativa tem dois resultados possíveis.
- As tentativas são independentes.
- A probabilidade de sucesso
é a mesma em cada tentativa.
- Como o enunciado dá uma taxa fixa de defeito
e não fornece tamanho finito da população nem indica seleção sem substituição, é razoável modelar as 5 escolhas como tentativas independentes com constante; portanto usamos a distribuição binomial.
Agora a fórmula da distribuição binomial (vou explicar cada símbolo):
- Aqui
é o número total de tentativas (aqui ). -
é o número de sucessos desejados (aqui queremos defeituosos). -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui ). -
é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher quais tentativas são sucessos entre as ; sua fórmula é
onde
(fatorial de
) é o produto
. No caso
temos sempre
.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao caso pedido (
) e simplificar passo a passo.
- Substituindo
, e na fórmula:
- Calcule cada parte:
-
. -
. -
.
-
- Logo
Passo 4
Calcular numericamente
mostrando cada multiplicação (para você conseguir fazer sem calculadora na prova).
-
. -
. -
. -
.
Portanto a probabilidade pedida é
, ou cerca de
.
Passo 5
Observações finais rápidas (dicas para a prova).
- Uma maneira rápida de raciocinar: a probabilidade de um produto NÃO ser defeituoso é
; para que os 5 sejam não defeituosos multiplicamos por si mesmo 5 vezes. - Se a amostra fosse retirada sem reposição de uma população muito pequena, o modelo exato seria a distribuição hipergeométrica; mas normalmente, em fábricas com muitos itens, a aproximação binomial (independência) é a usada em provas e exercícios.