- Exercício 1: Em um teste de qualidade, uma peça é classificada como “conforme” (sucesso) com probabilidade 0,85 ou “não conforme” (fracasso). Determine a média e a variância desta variável de Bernoulli.
Passo 1
O enunciado dá claramente uma variável aleatória que descreve o resultado de um teste de qualidade com duas categorias: “conforme” (sucesso) ou “não conforme” (fracasso). As informações e o que é pedido são:
- Probabilidade de sucesso (peça conforme):
. - Probabilidade de fracasso: não fornecida diretamente, mas pode ser obtida já que só existem duas categorias.
- O que pedem: determinar a média e a variância dessa variável de Bernoulli.
Passo 2
Definição e notação da variável que vamos estudar.
- Seja
a variável aleatória que vale quando a peça é “conforme” (sucesso) e quando é “não conforme” (fracasso). - Essa variável é uma Bernoulli com parâmetro
, que significa: - No problema temos
. Portanto .
Passo 3
Cálculo da média (valor esperado) — explicação do conceito e da fórmula.
- Intuição: a média
de uma variável aleatória discreta é a soma dos valores possíveis multiplicados pelas suas probabilidades. No caso de Bernoulli os valores possíveis são e . - Fórmula geral para Bernoulli:
- Substituindo as probabilidades:
- Portanto, para qualquer Bernoulli o valor esperado é simplesmente o parâmetro
. Isso faz sentido: a média é a probabilidade de sucesso.
Passo 4
Aplicando ao caso numérico para obter a média.
- Como
, temos
Passo 5
Cálculo da variância — explicação do conceito e derivação da fórmula.
- Intuição: a variância mede a dispersão em torno da média; para variáveis discretas é
. - Para uma Bernoulli, note que
só assume ou . Assim (porque e ). - Então:
- Portanto:
- Conclusão geral: a variância de uma Bernoulli é
. Veja que faz sentido: se está perto de ou de , a variância é pequena (pouca incerteza); se está em torno de , a variância é maior.
Passo 6
Aplicando ao caso numérico para obter a variância, passo a passo sem calculadora.
- Usamos
. Então - Multiplicação sem calculadora: transformar em inteiros facilita.
- Simplificando a fração dividindo por
: - Convertendo de volta para decimal:
- Logo a variância é
(ou ).
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo.
- Resultado prático: a média
significa que, em média, das peças são conformes; a variância mede a dispersão desse indicador entre ensaios individuais. - Bom trabalho por encarar isso agora — a fórmula
e é coisa-chave para Bernoulli e aparece direto em prova. Guarde essas duas e repita umas vezes que entra na cabeça.