• Exercício 1: Em um teste de qualidade, uma peça é classificada como “conforme” (sucesso) com probabilidade 0,85 ou “não conforme” (fracasso). Determine a média e a variância desta variável de Bernoulli.

Passo 1

O enunciado dá claramente uma variável aleatória que descreve o resultado de um teste de qualidade com duas categorias: “conforme” (sucesso) ou “não conforme” (fracasso). As informações e o que é pedido são:
  • Probabilidade de sucesso (peça conforme): p = 0,85.
  • Probabilidade de fracasso: não fornecida diretamente, mas pode ser obtida já que só existem duas categorias.
  • O que pedem: determinar a média e a variância dessa variável de Bernoulli.

Passo 2

Definição e notação da variável que vamos estudar.
  • Seja X a variável aleatória que vale 1 quando a peça é “conforme” (sucesso) e 0 quando é “não conforme” (fracasso).
  • Essa variável é uma Bernoulli com parâmetro p, que significa: P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=1-p.
  • No problema temos p=0,85. Portanto P(X=0)=1-p=1-0,85.

Passo 3

Cálculo da média (valor esperado) — explicação do conceito e da fórmula.
  • Intuição: a média E[X] de uma variável aleatória discreta é a soma dos valores possíveis multiplicados pelas suas probabilidades. No caso de Bernoulli os valores possíveis são 0 e 1.
  • Fórmula geral para Bernoulli: E[X] = 0\cdot P(X=0) + 1\cdot P(X=1).
  • Substituindo as probabilidades: E[X] = 0\cdot(1-p) + 1\cdot p = p.
  • Portanto, para qualquer Bernoulli o valor esperado é simplesmente o parâmetro p. Isso faz sentido: a média é a probabilidade de sucesso.

Passo 4

Aplicando ao caso numérico para obter a média.
  • Como p=0,85, temos E[X] = p = 0,85.

Passo 5

Cálculo da variância — explicação do conceito e derivação da fórmula.
  • Intuição: a variância mede a dispersão em torno da média; para variáveis discretas é \mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2.
  • Para uma Bernoulli, note que X só assume 0 ou 1. Assim X^2=X (porque 0^2=0 e 1^2=1).
  • Então: E[X^2]=E[X]=p.
  • Portanto: \mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2 = p - p^2 = p(1-p).
  • Conclusão geral: a variância de uma Bernoulli é p(1-p). Veja que faz sentido: se p está perto de 0 ou de 1, a variância é pequena (pouca incerteza); se p está em torno de 0,5, a variância é maior.

Passo 6

Aplicando ao caso numérico para obter a variância, passo a passo sem calculadora.
  • Usamos p=0,85. Então \mathrm{Var}(X)=p(1-p)=0,85\cdot(1-0,85)=0,85\cdot0,15.
  • Multiplicação sem calculadora: transformar em inteiros facilita. 0,85 = \frac{85}{100},\qquad 0,15=\frac{15}{100}.
0,85\cdot0,15=\frac{85\cdot15}{100\cdot100}=\frac{1275}{10000}.
  • Simplificando a fração dividindo por 25: \frac{1275}{10000}=\frac{51}{400}.
  • Convertendo de volta para decimal: \frac{51}{400}=0,1275.
  • Logo a variância é 0,1275 (ou \tfrac{51}{400}).

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo.
  • Resultado prático: a média 0,85 significa que, em média, 85\% das peças são conformes; a variância 0,1275 mede a dispersão desse indicador entre ensaios individuais.
  • Bom trabalho por encarar isso agora — a fórmula E[X]=p e \mathrm{Var}(X)=p(1-p) é coisa-chave para Bernoulli e aparece direto em prova. Guarde essas duas e repita umas vezes que entra na cabeça.

Resposta

E[X]=0,85
\mathrm{Var}(X)=0,1275=\dfrac{51}{400}

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