Exercício 5. Faça a decomposição em fatores primos dos seguintes números:
(e) 231

Passo 1

O enunciado pede: fazer a decomposição em fatores primos do número 231. Informação dada: o número a fatorar é 231.
O que significa decomposição em fatores primos? Significa escrever o número como um produto de números primos (números maiores que 1 que só têm divisores 1 e eles mesmos). A técnica prática mais usada é a divisão sucessiva por primos pequenos (chamada “divisão por tentativa” ou “trial division”), testando primos até a raiz quadrada do número: se um número composto tem um fator não trivial, pelo menos um desses fatores é menor ou igual à sua raiz quadrada. Então primeiro vamos ver até que primo precisamos testar para 231.

Passo 2

Calcular a raiz quadrada aproximada de 231 para saber até qual primo testar.
15^2 = 225,\qquad 16^2 = 256,
logo \sqrt{231} está entre 15 e 16. Portanto basta testar divisibilidade pelos primos menores ou iguais a 15, isto é: 2,3,5,7,11,13.

Passo 3

Teste de divisibilidade por 2,3,5:
  • Divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 se terminar em 0,2,4,6 ou 8. 231 termina com 1, então não é divisível por 2.
  • Divisibilidade por 3: soma-se os dígitos; se a soma for múltipla de 3, o número é múltiplo de 3. Soma dos dígitos de 231: 2+3+1=6. Como 6 é múltiplo de 3, então 231 é divisível por 3.
Façamos a divisão:
231 \div 3 = 77.
Assim já temos um fator primo: 3, e sobraram 77. Então
231 = 3 \times 77.

Passo 4

Agora fatorar 77. Novamente usamos testes de divisibilidade por primos até \sqrt{77}.
8^2 = 64,\qquad 9^2 = 81,
logo \sqrt{77} está entre 8 e 9. Basta testar primos 2,3,5,7.
  • 77 não é par, então não é divisível por 2.
  • Soma dos dígitos 7+7=14 não é múltiplo de 3, então não é divisível por 3.
  • Não termina em 0 nem 5, então não é divisível por 5.
  • Teste por 7: 7 é óbvio aqui porque 7\times11=77. Fazendo a divisão:
77 \div 7 = 11.
Portanto 77 = 7 \times 11.

Passo 5

Verificar se 11 é primo: \sqrt{11}\approx3{,}316. Testamos divisibilidade por primos \le 3: 2 não divide 11, 3 não divide 11. Não há outros primos menores que \sqrt{11}, então 11 é primo.

Passo 6

Juntando tudo:
231 = 3 \times 77 = 3 \times 7 \times 11.
Podemos escrever em forma de potências de primos (aqui todas as potências são 1):
231 = 3^{1}\cdot 7^{1}\cdot 11^{1}.
Dica rápida para prova: comece sempre pelos testes simples (2,3,5), use soma dos dígitos para 3, e lembre que parar de testar quando o divisor excede a raiz quadrada do que resta. Isso economiza tempo.

Resposta

231 = 3 \cdot 7 \cdot 11

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