Exercício 5. Faça a decomposição em fatores primos dos seguintes números:
(e) 231
(e) 231
Passo 1
O enunciado pede: fazer a decomposição em fatores primos do número
. Informação dada: o número a fatorar é
.
O que significa decomposição em fatores primos? Significa escrever o número como um produto de números primos (números maiores que que só têm divisores
e eles mesmos). A técnica prática mais usada é a divisão sucessiva por primos pequenos (chamada “divisão por tentativa” ou “trial division”), testando primos até a raiz quadrada do número: se um número composto tem um fator não trivial, pelo menos um desses fatores é menor ou igual à sua raiz quadrada. Então primeiro vamos ver até que primo precisamos testar para
.
O que significa decomposição em fatores primos? Significa escrever o número como um produto de números primos (números maiores que
Passo 2
Calcular a raiz quadrada aproximada de
para saber até qual primo testar.
logo
está entre
e
. Portanto basta testar divisibilidade pelos primos menores ou iguais a
, isto é:
.
Passo 3
Teste de divisibilidade por
:
-
Divisibilidade por
: um número é divisível por se terminar em ou . termina com , então não é divisível por . -
Divisibilidade por
: soma-se os dígitos; se a soma for múltipla de , o número é múltiplo de . Soma dos dígitos de : . Como é múltiplo de , então é divisível por .
Façamos a divisão:
Assim já temos um fator primo:
, e sobraram
. Então
Passo 4
Agora fatorar
. Novamente usamos testes de divisibilidade por primos até
.
logo
está entre
e
. Basta testar primos
.
-
não é par, então não é divisível por . - Soma dos dígitos
não é múltiplo de , então não é divisível por . - Não termina em
nem , então não é divisível por . - Teste por
: é óbvio aqui porque . Fazendo a divisão:
Portanto
.
Passo 5
Verificar se
é primo:
. Testamos divisibilidade por primos
:
não divide
,
não divide
. Não há outros primos menores que
, então
é primo.
Passo 6
Juntando tudo:
Podemos escrever em forma de potências de primos (aqui todas as potências são
):
Dica rápida para prova: comece sempre pelos testes simples (2,3,5), use soma dos dígitos para
, e lembre que parar de testar quando o divisor excede a raiz quadrada do que resta. Isso economiza tempo.