Exercício 5. Faça a decomposição em fatores primos dos seguintes números:
(d) 456
(d) 456
Passo 1
O enunciado pede: decompor em fatores primos o número
.
Informações dadas: o único dado é o número .
Objetivo: escrever como produto de números primos, por exemplo na forma
.
Informações dadas: o único dado é o número
Objetivo: escrever
Passo 2
O que significa “decompor em fatores primos” e qual método vou usar (explicação didática).
- Teorema fundamental da aritmética: todo inteiro
pode ser escrito de forma única (até ordem) como produto de números primos. Ou seja, existe uma única fatoração primo-exponencial de . - Método prático: testar divisibilidade por primos pequenos (
) e ir dividindo repetidamente enquanto o número for divisível. Cada divisão bem-sucedida produz um fator primo; quando o quociente final tornar-se ou um número primo, terminamos. - Regras úteis sem calculadora:
- Divisibilidade por
: número par (último dígito par). - Divisibilidade por
: soma dos dígitos é múltiplo de . - Divisibilidade por
: termina em ou . - Para testar se um número
pequeno é primo, basta testar divisibilidade por primos até .
- Divisibilidade por
Passo 3
Começo pela menor primo
. Como
termina em
(par), é divisível por
. Faço a divisão:
Logo, extraí um fator
e ficou o quociente
.
Passo 4
Repito para
:
é par, então divisível por
:
Agora temos dois fatores
:
.
Passo 5
Repito para
:
é par:
Agora extraí mais um
. Até aqui:
Expliquei também que escrever
como
é apenas a notação curta para fatores repetidos.
Passo 6
Fatoremos
. Uso a regra da soma dos dígitos para
: soma
, e
é múltiplo de
, logo
é divisível por
. Faço a divisão:
Portanto
, e
Passo 7
Verifico se
é primo. Para isso basta testar divisibilidade por primos até
.
. Os primos a testar são
e
.
-
não é par (não é divisível por ). - Soma dos dígitos
não é múltiplo de , então não é divisível por .
Logonão é divisível por nenhum primo , portanto é primo. Isso confirma que a fatoração está completa.
Passo 8
Confirmação final por multiplicação (checar sem calculadora):
Calculo : primeiro
, então
. Depois
. A conta confere com o número original.
Calculo