Exercício 5. Faça a decomposição em fatores primos dos seguintes números:
(d) 456

Passo 1

O enunciado pede: decompor em fatores primos o número \,456\,.
Informações dadas: o único dado é o número \,456\,.
Objetivo: escrever \,456\, como produto de números primos, por exemplo na forma \,2^a\cdot3^b\cdot\ldots\,.

Passo 2

O que significa “decompor em fatores primos” e qual método vou usar (explicação didática).
  • Teorema fundamental da aritmética: todo inteiro >1 pode ser escrito de forma única (até ordem) como produto de números primos. Ou seja, existe uma única fatoração primo-exponencial de \,456\,.
  • Método prático: testar divisibilidade por primos pequenos ( 2,3,5,7,\dots) e ir dividindo repetidamente enquanto o número for divisível. Cada divisão bem-sucedida produz um fator primo; quando o quociente final tornar-se 1 ou um número primo, terminamos.
  • Regras úteis sem calculadora:
    • Divisibilidade por \,2: número par (último dígito par).
    • Divisibilidade por \,3: soma dos dígitos é múltiplo de \,3.
    • Divisibilidade por \,5: termina em \,0 ou \,5.
    • Para testar se um número n pequeno é primo, basta testar divisibilidade por primos até \sqrt{n}.

Passo 3

Começo pela menor primo \,2. Como \,456\, termina em \,6 (par), é divisível por \,2. Faço a divisão:
456 \div 2 = 228.
Logo, extraí um fator \,2 e ficou o quociente \,228.

Passo 4

Repito para \,228: \,228\, é par, então divisível por \,2:
228 \div 2 = 114.
Agora temos dois fatores \,2: \,456 = 2\cdot2\cdot114.

Passo 5

Repito para \,114: \,114\, é par:
114 \div 2 = 57.
Agora extraí mais um \,2. Até aqui:
456 = 2\cdot2\cdot2\cdot57 = 2^3\cdot57.
Expliquei também que escrever \,2\cdot2\cdot2\, como \,2^3\, é apenas a notação curta para fatores repetidos.

Passo 6

Fatoremos \,57\,. Uso a regra da soma dos dígitos para \,3: soma 5+7=12, e \,12\, é múltiplo de \,3, logo \,57\, é divisível por \,3. Faço a divisão:
57 \div 3 = 19.
Portanto \,57 = 3\cdot19, e
456 = 2^3\cdot3\cdot19.

Passo 7

Verifico se \,19\, é primo. Para isso basta testar divisibilidade por primos até \sqrt{19}.
\sqrt{19}\approx4,35. Os primos a testar são 2 e 3.
  • 19 não é par (não é divisível por 2).
  • Soma dos dígitos 1+9=10 não é múltiplo de 3, então não é divisível por 3.
    Logo 19 não é divisível por nenhum primo \le\sqrt{19}, portanto 19 é primo. Isso confirma que a fatoração está completa.

Passo 8

Confirmação final por multiplicação (checar sem calculadora):
Calculo \,2^3\cdot3\cdot19\,: primeiro \,2^3=8, então \,8\cdot3=24. Depois \,24\cdot19=24\cdot(20-1)=480-24=456. A conta confere com o número original.

Resposta

\,456=2^3\cdot3\cdot19\,

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