Exercício 5. Faça a decomposição em fatores primos dos seguintes números:
(c) 735

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em fatores primos do número 735.
Informação dada: o número a fatorar é 735.
Pedido: escrever 735 como produto de números primos.

Passo 2

Breve explicação do que vamos fazer (passo a passo didático).
  • Um número primo é um número inteiro maior que 1 que só tem dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Exemplos: 2,3,5,7,11,\dots.
  • A decomposição em fatores primos consiste em dividir o número sucessivamente por primos (começando pelos menores, normalmente 2,3,5,7,\dots) até obter só fatores primos.
  • Testes rápidos de divisibilidade úteis:
    • Divisível por 2 se o último dígito é par.
    • Divisível por 3 se a soma dos dígitos é divisível por 3.
    • Divisível por 5 se o último dígito é 0 ou 5.
    • Divisível por 7 não tem teste tão simples, mas pode-se tentar dividir diretamente quando o número é pequeno.
Vamos aplicar essas ideias a 735, com divisões explícitas e verificações.

Passo 3

Testes iniciais em 735:
  • 735 é ímpar, logo não é divisível por 2.
  • Soma dos dígitos: 7 + 3 + 5 = 15. Como 15 é divisível por 3, concluímos que 735 é divisível por 3.
    Faço a divisão por 3:
735 \div 3 = 245,
porque 3\cdot245 = 3\cdot200 + 3\cdot45 = 600 + 135 = 735.
Logo 735 = 3 \cdot 245.

Passo 4

Fatorando 245:
  • 245 é ímpar, não divisível por 2.
  • Soma dos dígitos de 245 é 2+4+5=11, que não é múltiplo de 3, então não é divisível por 3.
  • O último dígito de 245 é 5, portanto 245 é divisível por 5. Faço a divisão:
245 \div 5 = 49,
porque 5\cdot49 = 245.
Logo 245 = 5 \cdot 49 e portanto até aqui
735 = 3 \cdot 5 \cdot 49.

Passo 5

Fatorando 49:
  • Observe que 49 = 7 \cdot 7 e 7 é primo.
    Portanto 49 = 7^2. Substituindo,
735 = 3 \cdot 5 \cdot 7^2.

Passo 6

Agrupando e verificando a resposta:
  • Escrevendo os fatores em ordem crescente:
735 = 3 \cdot 5 \cdot 7^2.
  • Verificação numérica rápida: 7^2 = 49, 3\cdot5 = 15, então
15\cdot49 = 15\cdot(50-1) = 750 - 15 = 735,
confirma que a decomposição está correta.

Resposta

735 = 3 \cdot 5 \cdot 7^{2}

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