Exercício 5. Faça a decomposição em fatores primos dos seguintes números:
(f) 4096

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em fatores primos do número 4096. Informação que temos: o número a fatorar é 4096. A pergunta é: escrever 4096 como produto de números primos.

Passo 2

O que é decomposição em fatores primos e como vamos proceder:
  • Um número primo é um inteiro maior que 1 que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Exemplos: 2,3,5,7,\dots.
  • Para decompor um número em primos, o procedimento prático mais simples é ir dividindo pelo menor primo possível (começando por 2) enquanto a divisão for exata, e repetir o processo com o quociente até chegar em 1.
  • Começamos por 2 porque 2 é o menor primo e 4096 é par (último dígito 6), logo divisível por 2.

Passo 3

Divisões sucessivas por 2. A cada etapa escrevo o produto correspondente:
4096 = 2 \cdot 2048
2048 = 2 \cdot 1024
1024 = 2 \cdot 512
512 = 2 \cdot 256
256 = 2 \cdot 128
128 = 2 \cdot 64
64 = 2 \cdot 32
32 = 2 \cdot 16
16 = 2 \cdot 8
8 = 2 \cdot 4
4 = 2 \cdot 2
2 = 2 \cdot 1
Em cada linha dividiu-se por 2 exatamente, até o quociente ser 1.

Passo 4

Juntando todas as equalidades acima, obtém-se 4096 como produto de doze fatores iguais a 2. Em forma expandida:
4096 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2
Aqui aparecem 12 fatores 2.

Passo 5

Explicando a notação de potência (útil na prova): quando um número aparece multiplicado por ele mesmo n vezes, escreve-se a^{n}, que significa a\cdot a\cdot\ldots\cdot a (com n fatores). Como há 12 fatores iguais a 2, a forma compacta é uma potência com expoente 12.
Verificação rápida sem usar a forma condensada: sabe-se que 2^{10}=1024 e 2^{2}=4. Assim 1024\cdot4=4096, o que confirma que multiplicando dezesseis mais dois fatores de 2 (ou seja, no total doze fatores) obtém-se 4096.

Passo 6

Portanto, a decomposição em fatores primos de 4096 é dada por 4096 = 2^{12}, doze fatores 2, escrita de forma usual com potência.

Resposta

4096 = 2^{12}

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