Exercício 5. Faça a decomposição em fatores primos dos seguintes números:
(b) 91
(b) 91
Passo 1
O enunciado pede: fazer a decomposição em fatores primos do número
.
Informação dada: o número a fatorar é . Não há mais informações.
Informação dada: o número a fatorar é
Passo 2
O que é fatoração em primos?
- Um número primo é um inteiro maior que
que só é divisível por e por ele mesmo (por exemplo ). - Um número composto é um inteiro maior que
que tem divisores além de e ele mesmo (por exemplo ). - Teorema fundamental da aritmética: todo inteiro
pode ser escrito de maneira única (exceto pela ordem) como produto de primos. Isso é a fatoração em primos que queremos encontrar para .
Método simples e prático (divisão por tentativa): testar divisibilidade de
por primos crescentes
até o maior primo menor ou igual a
. Se um primo divide, divide-se e repete-se o processo com o quociente.
Passo 3
Calcular o limite até o qual precisamos testar primos.
Temos . Como
e
, segue que
Temos
Então basta testar primos até
, isto é, testar os primos
,
,
e
.
Passo 4
Testes de divisibilidade (cada passo com explicação):
- Teste por
: um número é divisível por se for par (último dígito ). termina em , logo não é divisível por . - Teste por
: um número é divisível por se a soma dos dígitos for múltiplo de . Soma dos dígitos de é , que não é múltiplo de . Logo não é divisível por . - Teste por
: números divisíveis por terminam em ou . termina em , não é divisível por . - Teste por
: não há uma regra tão simples usada usualmente na prova; o procedimento direto é dividir por . Fazendo a divisão:
pois
. Portanto
divide
.
Passo 5
Agora que encontramos um divisor primo
, escrevemos
Devemos verificar se o outro fator
é primo. Testamos primos até
. Como
, basta testar
e
:
-
não é par, não é divisível por . - Soma dos dígitos
não é múltiplo de , então não é divisível por .
Logo
não tem divisores além de
e
; portanto
é primo.
Passo 6
Concluímos que a fatoração em primos de
é o produto de dois primos
e
. Não há outros fatores porque ambos são primos.