Exercício 5. Faça a decomposição em fatores primos dos seguintes números:
(b) 91

Passo 1

O enunciado pede: fazer a decomposição em fatores primos do número 91.
Informação dada: o número a fatorar é 91. Não há mais informações.

Passo 2

O que é fatoração em primos?
  • Um número primo é um inteiro maior que 1 que só é divisível por 1 e por ele mesmo (por exemplo 2,3,5,7,11,\dots).
  • Um número composto é um inteiro maior que 1 que tem divisores além de 1 e ele mesmo (por exemplo 4,6,8,9,\dots).
  • Teorema fundamental da aritmética: todo inteiro >1 pode ser escrito de maneira única (exceto pela ordem) como produto de primos. Isso é a fatoração em primos que queremos encontrar para 91.
Método simples e prático (divisão por tentativa): testar divisibilidade de 91 por primos crescentes 2,3,5,7,\dots até o maior primo menor ou igual a \sqrt{91}. Se um primo divide, divide-se e repete-se o processo com o quociente.

Passo 3

Calcular o limite até o qual precisamos testar primos.
Temos \sqrt{91}. Como \sqrt{81}=9 e \sqrt{100}=10, segue que
\sqrt{91}\approx 9{,}53.
Então basta testar primos até 9{,}53, isto é, testar os primos 2, 3, 5 e 7.

Passo 4

Testes de divisibilidade (cada passo com explicação):
  • Teste por 2: um número é divisível por 2 se for par (último dígito 0,2,4,6,8). 91 termina em 1, logo não é divisível por 2.
  • Teste por 3: um número é divisível por 3 se a soma dos dígitos for múltiplo de 3. Soma dos dígitos de 91 é 9+1=10, que não é múltiplo de 3. Logo 91 não é divisível por 3.
  • Teste por 5: números divisíveis por 5 terminam em 0 ou 5. 91 termina em 1, não é divisível por 5.
  • Teste por 7: não há uma regra tão simples usada usualmente na prova; o procedimento direto é dividir 91 por 7. Fazendo a divisão:
91 \div 7 = 13,
pois 7\times 13 = 91. Portanto 7 divide 91.

Passo 5

Agora que encontramos um divisor primo 7, escrevemos
91 = 7 \times 13.
Devemos verificar se o outro fator 13 é primo. Testamos primos até \sqrt{13}. Como \sqrt{13}\approx 3{,}6, basta testar 2 e 3:
  • 13 não é par, não é divisível por 2.
  • Soma dos dígitos 1+3=4 não é múltiplo de 3, então 13 não é divisível por 3.
Logo 13 não tem divisores além de 1 e 13; portanto 13 é primo.

Passo 6

Concluímos que a fatoração em primos de 91 é o produto de dois primos 7 e 13. Não há outros fatores porque ambos são primos.

Resposta

91 = 7 \cdot 13

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