Exercício 8. Faça o esboço do gráfico das funções quadráticas abaixo, utilizando translações horizontais e/ou verticais, alongamentos ou compressões e reflexões, conforme necessário.
f(x)=2 x^2+8 x+10

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função quadrática
f(x)=2x^2+8x+10
usando transformações (translações, alongamentos/compressões e reflexões) a partir da parábola básica y=x^2.

Passo 2

Para descobrir as transformações, vamos escrever f na forma de vértice completando o quadrado:
f(x)=2x^2+8x+10 =2l(x^2+4xr)+10 =2l(x^2+4x+4r)+10-2cdot4 =2(x+2)^2+10-8 =2(x+2)^2+2

Passo 3

Da forma
f(x)=2(x+2)^2+2
vemos que, a partir de y=x^2:
  1. Há um alongamento vertical por fator 2, obtendo y=2x^2.
  2. Em seguida, faz-se uma translação de 2 unidades para a esquerda, chegando a y=2(x+2)^2.
  3. Por fim, uma translação de 2 unidades para cima, resultando em y=2(x+2)^2+2.

Passo 4

Identificamos também:
  • Vértice em (-2,2).
  • Abertura para cima (coeficiente de (x+2)^2 é positivo).
  • “Estreitamento” em relação a y=x^2 porque o fator vertical é 2>1.
  • Alguns pontos auxiliares:
    ,f(-1)=2(-1+2)^2+2=4, logo (-1,4) e simetricamente (-3,4).
    ,f(0)=10, ponto (0,10).
  • Não há raízes reais (discriminante negativo).

Resposta

A parábola tem vértice em (-2,2), abre para cima e é mais “estreita” que y=x^2 por fator 2. Obtém-se seu gráfico aplicando, em ordem, um alongamento vertical de fator 2 em y=x^2, depois translação de 2 para a esquerda e em seguida translação de 2 para cima. Pontos marcantes: (-2,2), (-1,4), (-3,4), (0,10).

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