2 (2,5 pts.) A derivada de
em um ponto
é maior na direção do vetor
. Nessa direção, o valor da derivada, no ponto
, é 6. Calcule
e a derivada de
na direção do vetor
, no ponto
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma função
e sabemos que a derivada direcional máxima em
ocorre na direção do vetor
e vale
. Precisamos encontrar
e depois a derivada direcional de
em
na direção de
. Vamos usar a relação entre gradiente e derivada direcional:
- A direção de máximo crescimento de
é a direção de . - O valor máximo da derivada direcional é
. - Para qualquer vetor
, .
Passo 2
Como a direção de máximo crescimento é
, concluímos que
é paralelo a
, ou seja, existe
tal que
Além disso, o valor máximo da derivada direcional é
Mas
Logo
Como a derivada máxima é positiva,
.
Passo 3
Portanto
Passo 4
Agora calculamos a derivada direcional ao longo de
. Primeiro normalizamos
:
Em seguida