2 (2,5 pts.) A derivada de f(x, y, z) em um ponto P é maior na direção do vetor v=2 i+j-2 k. Nessa direção, o valor da derivada, no ponto P, é 6. Calcule nabla f(P) e a derivada de f na direção do vetor w=i-3 j, no ponto P.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma função f(x,y,z) e sabemos que a derivada direcional máxima em P ocorre na direção do vetor vec v = 2vec i + vec j - 2vec k e vale 6. Precisamos encontrar nabla f(P) e depois a derivada direcional de f em P na direção de vec w = vec i - 3vec j. Vamos usar a relação entre gradiente e derivada direcional:
  1. A direção de máximo crescimento de f é a direção de nabla f(P).
  2. O valor máximo da derivada direcional é |nabla f(P)|.
  3. Para qualquer vetor vec u, Dvec uf(P)=nabla f(P)cdotvec u|vec u|.

Passo 2

Como a direção de máximo crescimento é vec v, concluímos que nabla f(P) é paralelo a vec v, ou seja, existe k tal que
nabla f(P) = k,(2,1,-2)
Além disso, o valor máximo da derivada direcional é
|nabla f(P)| = 6
Mas
|nabla f(P)| = |k|,|,(2,1,-2)|e |,(2,1,-2)|=raiz4+1+4=3
Logo
|k|cdot 3 = 6 implies |k|=2
Como a derivada máxima é positiva, k=2.

Passo 3

Portanto
boxednabla f(P) = 2,(2,1,-2) = (4,2,-4)

Passo 4

Agora calculamos a derivada direcional ao longo de vec w=(1,-3,0). Primeiro normalizamos vec w:
|vec w| = raiz1^2+(-3)^2+0^2 = raiz10, hat w = 1raiz10(1,-3,0)
Em seguida
Dvec wf(P) = nabla f(P)cdothat w = (4,2,-4)cdot1raiz10(1,-3,0) = 1raiz10l(4 - 6 + 0r) = -2raiz10

Resposta

nabla f(P) = (4,2,-4)
Dvec wf(P) = -dfrac2raiz10

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