Problema 65 Simplifique à expressão A=x^2(x-y)(x-z)+y^2(y-z)(y-x)+z^2(z-x)(z-y).

Passo 1

O enunciado pede pra simplificar
A = x^2(x-y)(x-z) ;+; y^2(y-z)(y-x) ;+; z^2(z-x)(z-y)
O conteúdo é manipulação de frações algébricas: vamos colocar tudo num denominador comum e mostrar que o numerador coincide com esse denominador, resultando em 1.

Passo 2

Escolhemos como denominador comum
D = (x-y)(x-z)(y-z)
Cada termo fica:
x^2(x-y)(x-z) = x^2,(y-z)D, y^2(y-z)(y-x) = -y^2,(x-z)D, z^2(z-x)(z-y) = z^2,(x-y)D
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A = x^2(y-z);-;y^2(x-z);+;z^2(x-y)D

Passo 3

Vamos simplificar o numerador
N = x^2y - x^2z ;-; y^2x + y^2z ;+; z^2x - z^2y
Agrupando termos em pares:
N = (x^2y - y^2x) + (y^2z - z^2y) + (z^2x - x^2z) = xy(x-y) + yz(y-z) + zx(z-x)
E essa soma é conhecida por fatorar exatamente como
N = (x-y)(y-z)(z-x) = D

Passo 4

Como o numerador N coincide com o denominador D, conclui-se que
A = ND = 1

Resposta

1

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