Exercício 6. Faça o gráfico de f(t) e calcule Lf(t).
f(t)=|sen(omega t)|.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos desenhar o gráfico de f(t)=|sen(ωt)| e calcular sua transformada de Laplace. O conteúdo envolve funções periódicas e a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas. Vamos precisar reconhecer o período de f, desenhar sua forma e aplicar a fórmula Lf(s)=integral0^Te^-stf(t),dt1-e^-sT

Passo 2

Observando f(t)=|sen(ωt)|, lembramos que sen(ωt) tem período T0=2π/ω, mas ao tomar valor absoluto o período passa a ser T=π/ω. O gráfico em cada intervalo [0,π/ω] é um arco de seno positivo, repetido a cada π/ω.

Passo 3

Para calcular Lf(t), usamos a fórmula de função periódica com T=π/ω:
Lf(s)=11-e^-sTintegral0^Te^-st|sin(ωt)|,dt Como em [0,π/ω] temos |sin(ωt)|=sin(ωt), trocamos f por sin(ωt) nesse integral.

Passo 4

Calculamos
I=integral0^π/ωe^-stsin(ωt),dt
Usando a antiderivada
integral e^-stsin(ωt),dt=-e^-stl(ssin(ωt)+ωcos(ωt)r)s^2+ω^2,
avaliamos de 0 a π/ω:
I=ω- e^-s(π/ω)[ssin(π)+ωcos(π)]s^2+ω^2 =ω+ωe^-sπ/ωs^2+ω^2 =ωl(1+e^-sπ/ωr)s^2+ω^2

Passo 5

Substituindo na fórmula periódica:
Lf(s)=I1-e^-sπ/ω =ωl(1+e^-sπ/ωr)(s^2+ω^2)(1-e^-sπ/ω)
Reconhecendo a identidade
1+e^-sπ/ω1-e^-sπ/ω=cothl(sπ2ωr),
chegamos à forma final.

Passo 6

Simplificando, concluímos que
L|sin(ωt)|(s)=ωs^2+ω^2cothl(sπ2ωr)

Resposta

Llvertsin(omega t)rvert(s)=omegas^2+omega^2,cothl(spi2omegar)

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