Exercício 3. Faça o que se pede:
Explique se a função f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^{2}+1} é contínua.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R},\quad f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}
é contínua em todo o seu domínio. O conteúdo usado será a continuidade de funções elementares (raiz quadrada, polinômios, soma, produto e quociente) e o fato de que o quociente de duas funções contínuas é contínuo sempre que o denominador não zera.

Passo 2

Observamos que a função
g(x)=\sqrt{x}
é contínua em (0,+\infty) (é uma função elementar de raiz) e que
h(x)=x^2+1
é contínua em \mathbb{R}, logo também em (0,+\infty). Além disso, para todo x>0 vale
h(x)=x^2+1>0,
ou seja, o denominador nunca se anula.

Passo 3

Como g e h são contínuas e h(x)\neq0 para todo x>0, o quociente
f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}
é contínuo em (0,+\infty) pelo teorema da continuidade do quociente de funções contínuas com denominador não nulo.

Resposta

A função f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^2+1} é contínua em todo o intervalo (0,+\infty).

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