Exercício 7. Faça o que se pede:
a)
b)
c)
d)
i) Determine o gradiente de
.
ii) Calcule o gradiente no ponto P .
iii) Determine a taxa de variação de
em P na direção do vetor
a)
b)
c)
d)
i) Determine o gradiente de
ii) Calcule o gradiente no ponto P .
iii) Determine a taxa de variação de
Passo 1
Estamos resolvendo um exercício de derivada direcional que envolve quatro funções diferentes em pontos dados e vetores unitários. O conteúdo principal é o cálculo do gradiente de uma função e da derivada direcional em um ponto na direção de um vetor unitário; para isso, vamos usar derivadas parciais e produto escalar.
Passo 2
O gradiente de uma função de duas ou três variáveis é o vetor formado pelas suas derivadas parciais. Denotamos
no caso 2D e
no caso 3D. A derivada direcional de
em um ponto
na direção de um vetor unitário \(
u\) é dada por
Passo 3
Para o item (a), temos
. Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Ainda no item (a), avaliamos o gradiente em
:
logo
Passo 5
No item (a), a derivada direcional em
na direção
é
Passo 6
Para o item (b),
. As derivadas parciais são:
Passo 7
Ainda em (b), avaliamos em
:
portanto
Passo 8
No item (b), a derivada direcional em
na direção
é
Passo 9
Para o item (c),
. As derivadas parciais são:
Passo 10
Em (c), avaliamos em
: como
, temos
então
Passo 11
No item (c), a derivada direcional em
na direção
é
Passo 12
Para o item (d),
. As derivadas parciais são:
Passo 13
Em (d), avaliamos em
: como
, obtemos
logo
Passo 14
No item (d), a derivada direcional em
na direção
é
Resposta
a) ∇f(x,y) = (5y² − 12x²y, 10xy − 4x³), ∇f(1,2) = (−4,16), Dᵤf(1,2) = 172/13
b) ∇f(x,y) = (y/x, ln x), ∇f(1,−3) = (−3,0), Dᵤf(1,−3) = 12/5
c) ∇f(x,y,z) = (e^{2yz}, 2xz e^{2yz}, 2xy e^{2yz}), ∇f(3,0,2) = (1,12,0), Dᵤf(3,0,2) = −22/3
d) ∇f(x,y,z) = (1/(2√(x+yz)), z/(2√(x+yz)), y/(2√(x+yz))), ∇f(1,3,1) = (1/4,1/4,3/4), Dᵤf(1,3,1) = 23/28
b) ∇f(x,y) = (y/x, ln x), ∇f(1,−3) = (−3,0), Dᵤf(1,−3) = 12/5
c) ∇f(x,y,z) = (e^{2yz}, 2xz e^{2yz}, 2xy e^{2yz}), ∇f(3,0,2) = (1,12,0), Dᵤf(3,0,2) = −22/3
d) ∇f(x,y,z) = (1/(2√(x+yz)), z/(2√(x+yz)), y/(2√(x+yz))), ∇f(1,3,1) = (1/4,1/4,3/4), Dᵤf(1,3,1) = 23/28