Exercício 7. Faça o que se pede:
a) f(x, y)=5 x y^2-4 x^3 y, P(1,2), u=(513, 1213)
b) f(x, y)=y ln x, P(1,-3), u=(-45, 35)
c) f(x, y, z)=x e^2 y z, P(3,0,2), u=(23,-23, 13)
d) f(x, y, z)=raizx+y z, P(1,3,1), u=(27, 37, 67)
i) Determine o gradiente de f.
ii) Calcule o gradiente no ponto P .
iii) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u

Passo 1

Estamos resolvendo um exercício de derivada direcional que envolve quatro funções diferentes em pontos dados e vetores unitários. O conteúdo principal é o cálculo do gradiente de uma função e da derivada direcional em um ponto na direção de um vetor unitário; para isso, vamos usar derivadas parciais e produto escalar.

Passo 2

O gradiente de uma função de duas ou três variáveis é o vetor formado pelas suas derivadas parciais. Denotamos no caso 2D e no caso 3D. A derivada direcional de em um ponto na direção de um vetor unitário \(
u\) é dada por

Passo 3

Para o item (a), temos f(x,y)=5xy^2 - 4x^3y. Calculamos as derivadas parciais:
fx = 5y^2 - 12x^2y,
fy = 10xy - 4x^3

Passo 4

Ainda no item (a), avaliamos o gradiente em P(1,2):
fx(1,2) = 5cdot 2^2 - 12cdot1^2cdot2 = 20 - 24 = -4,
fy(1,2) = 10cdot1cdot2 - 4cdot1^3 = 20 - 4 = 16,
logo nabla f(1,2) = (-4,16)

Passo 5

No item (a), a derivada direcional em P na direção u=(5/13,12/13) é
Duf(1,2) = (-4,16) cdot l(513,1213r) = -20 + 19213 = 17213

Passo 6

Para o item (b), f(x,y)=yln x. As derivadas parciais são:
fx = yx,
fy = ln x

Passo 7

Ainda em (b), avaliamos em P(1,-3):
fx(1,-3) = -31 = -3,
fy(1,-3) = ln 1 = 0,
portanto nabla f(1,-3) = (-3,0)

Passo 8

No item (b), a derivada direcional em P na direção u=(-4/5,3/5) é
Duf(1,-3) = (-3,0) cdot l(-45,35r) = 125

Passo 9

Para o item (c), f(x,y,z)=x,e^2yz. As derivadas parciais são:
fx = e^2yz,
fy = 2xz,e^2yz,
fz = 2xy,e^2yz

Passo 10

Em (c), avaliamos em P(3,0,2): como e^2cdot0cdot2=1, temos
fx(3,0,2)=1,
fy(3,0,2)=2cdot3cdot2cdot1=12,
fz(3,0,2)=2cdot3cdot0cdot1=0,
então nabla f(3,0,2) = (1,12,0)

Passo 11

No item (c), a derivada direcional em P na direção u=(2/3,-2/3,1/3) é
Duf(3,0,2) = (1,12,0) cdot l(23,-23,13r) = 23 - 243 = -223

Passo 12

Para o item (d), f(x,y,z)=raizx+yz=(x+yz)^1/2. As derivadas parciais são:
fx = 12raizx+yz,
fy = z2raizx+yz,
fz = y2raizx+yz

Passo 13

Em (d), avaliamos em P(1,3,1): como raiz1+3cdot1=2, obtemos
fx(1,3,1)=14,
fy(1,3,1)=14,
fz(1,3,1)=34,
logo nabla f(1,3,1) = l(14,14,34r)

Passo 14

No item (d), a derivada direcional em P na direção u=(2/7,3/7,6/7) é
Duf(1,3,1) = l(14,14,34r) cdot l(27,37,67r) = 2328

Resposta

a) ∇f(x,y) = (5y² − 12x²y, 10xy − 4x³), ∇f(1,2) = (−4,16), Dᵤf(1,2) = 172/13
b) ∇f(x,y) = (y/x, ln x), ∇f(1,−3) = (−3,0), Dᵤf(1,−3) = 12/5
c) ∇f(x,y,z) = (e^{2yz}, 2xz e^{2yz}, 2xy e^{2yz}), ∇f(3,0,2) = (1,12,0), Dᵤf(3,0,2) = −22/3
d) ∇f(x,y,z) = (1/(2√(x+yz)), z/(2√(x+yz)), y/(2√(x+yz))), ∇f(1,3,1) = (1/4,1/4,3/4), Dᵤf(1,3,1) = 23/28

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