Encontre e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio.
z=13 x^3+43 y^3-3 x-4 y-3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
f(x,y)=13x^3+43y^3-3x-4y-3
no domínio R^2, usando o gradiente para achar os pontos críticos e o teste da derivada segunda (Hessiano) para classificá-los. Por fim, verificar se existe extremo absoluto, sabendo que f é polinomial de grau 3 em cada variável e o domínio é não restrito.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
fx(x,y)=partial fpartial x=x^2-3, fy(x,y)=partial fpartial y=4y^2-4
Resolvendo
x^2-3=0implies x=pmraiz3, 4y^2-4=0implies y=pm1,
obtemos quatro pontos críticos:
(raiz3,1), (raiz3,-1), (-raiz3,1) e (-raiz3,-1).

Passo 3

Para classificar, usamos as segundas derivadas:
fxx=2x, fyy=8y, fxy=0,
e o discriminante do Hessiano
D(x,y)=fxxfyy-fxy^2=16,x,y
Em cada ponto:
  • Em (raiz3,1): D=16raiz3cdot1>0 e fxx=2raiz3>0, logo é mínimo local.
  • Em (-raiz3,-1): D=16(-raiz3)(-1)=16raiz3>0 e fxx=2(-raiz3)<0, logo é máximo local.
  • Em (raiz3,-1) e (-raiz3,1): D<0, logo são pontos de sela.

Passo 4

Como f(x,y) é polinomial de grau 3 e o domínio é R^2, quando lvert xrverttoinfty ou lvert yrverttoinfty a função tende a pminfty dependendo da direção. Portanto não há nem máximo nem mínimo absoluto em todo o domínio.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(raiz3,1): mínimo local.
(-raiz3,-1): máximo local.
(raiz3,-1) e (-raiz3,1): sela.
Não existem extremos absolutos em R^2.

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