Encontre e classifique os pontos críticos da função
e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
no domínio
, usando o gradiente para achar os pontos críticos e o teste da derivada segunda (Hessiano) para classificá-los. Por fim, verificar se existe extremo absoluto, sabendo que
é polinomial de grau 3 em cada variável e o domínio é não restrito.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Resolvendo
obtemos quatro pontos críticos:
,
,
e
.
Passo 3
Para classificar, usamos as segundas derivadas:
e o discriminante do Hessiano
Em cada ponto:
- Em
: e , logo é mínimo local. - Em
: e , logo é máximo local. - Em
e : , logo são pontos de sela.
Passo 4
Como
é polinomial de grau 3 e o domínio é
, quando
ou
a função tende a
dependendo da direção. Portanto não há nem máximo nem mínimo absoluto em todo o domínio.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
: mínimo local.
: máximo local.
e
: sela.
Não existem extremos absolutos em .
Não existem extremos absolutos em