Encontre e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio.
z=ln (x y)-2 x-3 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
f(x,y)=ln(xy)-2x-3y
no domínio (x,y)mid x>0,;y>0 e verificar se há extremo absoluto. Vamos usar derivadas parciais para achar candidatos a extremos e depois o Hessiano para classificar.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial fpartial x =partialpartial x[ln x+ln y-2x-3y] =1x-2,
partial fpartial y =partialpartial y[ln x+ln y-2x-3y] =1y-3

Passo 3

Para pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
1x-2=0 Longrightarrow x=tfrac12,
1y-3=0 Longrightarrow y=tfrac13
Logo há um único ponto crítico em l(tfrac12,tfrac13r).

Passo 4

Agora o Hessiano de f é
H(f)= partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2 = -1x^2 & 0 0 & -1y^2
Em l(tfrac12,tfrac13r) temos
H(f)l(tfrac12,tfrac13r) = -4 & 0 0 & -9 ,
que é definida negativa (ambos os autovalores são negativos).

Passo 5

Como o Hessiano é definida negativa em l(tfrac12,tfrac13r), esse ponto é um máximo local de f.

Passo 6

Para verificar extremo absoluto, note que quando xto0^+ ou yto0^+, ln(xy)to-infty, e quando x ou y vão a +infty, o termo linear domina e fto-infty. Portanto não há mínimo ou máximo diferentes: o único extremo é esse máximo local, que é também máximo global.

Resposta

O único ponto crítico é l(x,yr)=l(tfrac12,tfrac13r), onde f atinge um máximo local e global. Não há mínimo absoluto no domínio.

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