Encontre e classifique os pontos críticos da função e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
no domínio e verificar se há extremo absoluto. Vamos usar derivadas parciais para achar candidatos a extremos e depois o Hessiano para classificar.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
Passo 3
Para pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
Logo há um único ponto crítico em .
Passo 4
Agora o Hessiano de é
Em l(tfrac12,tfrac13r) temos
H(f)l(tfrac12,tfrac13r) = -4 & 0 0 & -9 ,
que é definida negativa (ambos os autovalores são negativos).
Passo 5
Como o Hessiano é definida negativa em l(tfrac12,tfrac13r), esse ponto é um máximo local de f.
Passo 6
Para verificar extremo absoluto, note que quando xto0^+ ou yto0^+, ln(xy)to-infty, e quando x ou y vão a +infty, o termo linear domina e fto-infty. Portanto não há mínimo ou máximo diferentes: o único extremo é esse máximo local, que é também máximo global.
Resposta
O único ponto crítico é l(x,yr)=l(tfrac12,tfrac13r), onde f atinge um máximo local e global. Não há mínimo absoluto no domínio.