Exercício 2. Faça o que se pede:
Use o item anterior e encontre a solução da equação
sen(x) sen(pi9) sen(2 pi9)=sen(4 pi9-x) sen(pi18) sen(pi6)
[Dica: Use o fato: se sen(a)sen(b)=sen(c)sen(d) e a+b=c+d então devemos ter a=c e b=d.]

Passo 1

A questão pede pra resolver a equação envolvendo produtos de senos:
sin(x),sinl(tfracpi9r),sinl(tfrac2pi9r)=sinl(tfrac4pi9-xr),sinl(tfracpi18r),sinl(tfracpi6r)
O conteúdo é identidade de produto de senos e a dica sugere usar a igualdade
sinl(tfracpi9r),sinl(tfrac2pi9r),sinl(tfrac4pi9r)=sinl(tfracpi18r),sinl(tfracpi6r),sinl(tfrac5pi18r) proveniente do item anterior.

Passo 2

Vamos multiplicar ambos os lados da equação original por sin(4pi/9) à esquerda e por sin(5pi/18) à direita. Assim o lado esquerdo fica
sin(x),sinl(tfracpi9r),sinl(tfrac2pi9r),sinl(tfrac4pi9r)
e o direito
sinl(tfrac4pi9-xr),sinl(tfracpi18r),sinl(tfracpi6r),sinl(tfrac5pi18r)
Pelas identidades do item anterior, cada um desses produtos de três senos é o mesmo valor M.

Passo 3

Como esses dois produtos valem o mesmo M, a equação fica
sin(x),M=sinl(tfrac4pi9-xr),M,
e como Mneq0 podemos dividir:
sin(x)=sinl(tfrac4pi9-xr)

Passo 4

Agora usamos a resolução da equação sinalpha=sinbeta. Temos duas famílias:
  1. alpha=beta+2kpi
  2. alpha=pi-beta+2kpi.
    Aqui alpha=x e beta=tfrac4pi9-x.

Passo 5

Na primeira família:
x=tfrac4pi9-x+2kpi Longrightarrow 2x=tfrac4pi9+2kpi Longrightarrow x=tfrac2pi9+kpi
Na segunda:
x=pi-l(tfrac4pi9-xr)+2kpi Longrightarrow 0=tfrac5pi9+2kpi,
que não tem solução inteira em k.

Passo 6

Portanto a solução geral é
x=tfrac2pi9+kpi, kinZ

Resposta

x = \tfrac{2\pi}{9} + k\pi, ; k\in\mathbb{Z}

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