Exercício 3. Sabendo que tg(alpha+beta)=-2 e sen(alpha)=(4-raiz5) cdot sen(beta), para alpha, beta in(0, pi2), calcule:
tg(alpha-beta2)tg(alpha+beta2)

Passo 1

O enunciado dá duas informações: tan(alpha+beta)=-2 e sinalpha=(4-raiz5),sinbeta, com alpha,betain(0,tfracpi2). A tarefa é calcular tanl(tfracalpha-beta2r)tanl(tfracalpha+beta2r). Vamos usar identidades de soma e diferença de senos para passar ao quociente de tangentes de meia-diferença e meia-soma.

Passo 2

Para transformar as tangentes de meia-ângulo, aplicamos as fórmulas:
tanl(alpha-beta2r)=sinalpha-sinbetacosalpha+cosbeta,
tanl(alpha+beta2r)=sinalpha+sinbetacosalpha+cosbeta
Observando que o denominador cosalpha+cosbeta aparece em ambas, o quociente fica
tanl(tfracalpha-beta2r)tanl(tfracalpha+beta2r) =sinalpha-sinbetasinalpha+sinbeta

Passo 3

Sabendo que sinalpha=(4-raiz5),sinbeta, definimos k=4-raiz5 e escrevemos sinalpha=k,sinbeta. Então
sinalpha-sinbetasinalpha+sinbeta =ksinbeta-sinbetaksinbeta+sinbeta =k-1k+1

Passo 4

Substituindo k=4-raiz5 no quociente:
k-1k+1 =(4-raiz5)-1(4-raiz5)+1 =3-raiz55-raiz5
Racionalizando multiplicando numerador e denominador por 5+raiz5:
3-raiz55-raiz5cdot5+raiz55+raiz5 =(3-raiz5)(5+raiz5)25-5 =10-2raiz520 =12-raiz510 =5-raiz510

Resposta

tfrac5-raiz510

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