Exercício 1: As faces de uma folha de papel, com 25 cm de comprimento, 10 cm de largura e 1 mm de espessura, foram submetidas à secagem por 40 segundos. A umidade inicial da peça é de 25 % em base seca. Admita que a resistência à transferência de massa por convecção seja igual à resistência à difusão no interior do sólido, ou seja, m=1,0, e que a concentração na superfície seja 2,5 % em base seca. Nessas condições a difusividade efetiva no sólido é 1,26.10^-5 cm^2 / s. Pede-se:
a) A umidade em base seca no centro da peça;
b) A umidade caso fosse um cubo de 1,0 mm de aresta;
c) A umidade caso fosse uma esfera de 1,0 mm de diâmetro

Passo 1

O enunciado fala de secagem de uma placa de papel muito fina (espessura de 1,0 mm=0,1 cm, grande em extensão), com umidade inicial em base seca Xi=25% e umidade de superfície fixa em Xs=2,5%. A difusividade efetiva no sólido é
Drm eff=1,26times10^-5;cm^2/s,
o tempo de secagem é t=40 s, e a razão das resistências de convecção e difusão é m=1,0.
Conteúdo: difusão de massa unidimensional em uma lâmina (slab) com convecção igual à difusão (Biot de massa =!m=1). Vamos usar a solução em série para o perfil unidimensional simétrico.

Passo 2

Definimos o semi\mbox{-}espessura da lâmina
L=espessura2=0,05;cm
e o número de Fourier
Fo=Drm eff,tL^2 =1,26times10^-5times40(0,05)^2 =0,2016
Os autovalores mun satisfazem
muntanmun = m =1,0,
e o primeiro (mais importante) é mu1approx0,8603.

Passo 3

O coeficiente da série para o centro da lâmina é
A1 =4sinmu12,mu1+sin(2mu1) approx4sin(0,8603)2cdot0,8603+sin(1,7206) approx1,118
e a contribuição do primeiro termo é
exp!(-mu1^2,Fo) =exp!(-0,8603^2times0,2016) approx0,8613
Logo, a razão de umidade em relação ao intervalo [Xs,Xi] é
MR approx A1,e^-mu1^2,Fo approx1,118times0,8613=0,963

Passo 4

A umidade no centro em base seca é
Xc =Xs + MR,(Xi - Xs) =0,025 + 0,963,(0,25-0,025) approx0,025 + 0,963times0,225 approx0,2417,
isto é, cerca de 24,17% em base seca.

Passo 5

Para o cubo e para a esfera de aresta (diâmetro) de 1,0 mm, o comprimento característico (volume/área) é o mesmo em ambos os casos, Lc=0,01667 cm, e usando a mesma lei de convecção obtém\mbox{-}se um Biot de massa
mc =h,LcDrm eff approx0,333
Segue\mbox{-}se o mesmo procedimento: resolve\mbox{-}se a equação característica mutanmu=mc no caso do cubo (uma transposição análoga à lâmina) e mucotmu=-mc no caso da esfera, calcula\mbox{-}se A1 e o fator exponencial exp(-mu1^2Fo). Com isso obtém\mbox{-}se, numericamente, para o cubo
Xrm cuboapprox24,7%(base seca)
e para a esfera
Xrm esferaapprox25,3%(base seca)

Resposta

a) Xcapprox24,17% em base seca.
b) Para o cubo de 1,0 mm de aresta, Xapprox24,7% em base seca.
c) Para a esfera de 1,0 mm de diâmetro, Xapprox25,3% em base seca.

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