Usando o método do balanço de energia, deduza a equação de diferenças finitas para o ponto nodal m, n localizado em uma superfície plana e isolada de um meio onde há geração uniforme de calor.
Solução:
Desenho: Rede de pontos nodais vizinhos a uma superfície isolada.
Esquema: Equação de diferenças finitas para o ponto nodal na superfície.
Considerações:
- Condições de regime estacionário.
- Condução bidimensional.
- Propriedades constantes.
- Geração de calor interna constante.
Análise: Aplicando a exigência da conservação de energia, Equação 4.30, na superfície de controle ao redor da região (
2,
,1) associada ao nó
, tem-se que, com geração volumétrica de calor a uma taxa
.
onde
Substituindo no balanço de energia e dividindo por
, tem-se que
Comentários:
-
O mesmo resultado poderia ser obtido usando-se a condição de simetria,
, com a equação de diferenças finitas (Equação 4.35) para um ponto nodal interior. Se
, o resultado desejado poderia também ser obtido fazendo-se
na Equação 4.42 (Tabela 4.2).
-
Como uma aplicação da equação de diferenças finitas anterior, considere o sistema bidimensional a seguir, no qual energia térmica é uniformemente gerada numa taxa desconhecida
. A condutividade térmica do sólido é conhecida, assim como as condições convectivas em uma das superfícies. Além disso, foram medidas temperaturas em locais correspondentes aos pontos nodais de uma malha de diferenças finitas.
A taxa de geração pode ser determinada pela aplicação da equação de diferenças finitas no ponto nodal
.
A partir das condições térmicas especificadas e do conhecimento de
, nós podemos também determinar se a exigência de conservação da energia é satisfeita para o ponto nodal e. Fazendo um balanço de energia em um volume de controle ao redor desse nó, tem-se que
O mesmo resultado poderia ser obtido usando-se a condição de simetria,
, com a equação de diferenças finitas (Equação 4.35) para um ponto nodal interior. Se
, o resultado desejado poderia também ser obtido fazendo-se
na Equação 4.42 (Tabela 4.2).
Como uma aplicação da equação de diferenças finitas anterior, considere o sistema bidimensional a seguir, no qual energia térmica é uniformemente gerada numa taxa desconhecida
. A condutividade térmica do sólido é conhecida, assim como as condições convectivas em uma das superfícies. Além disso, foram medidas temperaturas em locais correspondentes aos pontos nodais de uma malha de diferenças finitas.
Passo 1
O objetivo é deduzir a equação de diferenças finitas para o nó
que fica numa superfície plana isolada, em condições de regime estacionário, condução bidimensional, propriedades térmicas constantes e geração volumétrica uniforme de calor
.
Passo 2
Escolhemos um volume de controle ao redor do nó
com espessura unitária na direção perpendicular ao plano, extensão
na vertical e meia espessura
na direção do isolamento. Nas demais direções temos a malha regular de passo
e
.
Passo 3
Pela conservação de energia em regime estacionário, a soma dos fluxos condutivos que entram mais a geração interna deve ser zero:
Expressamos cada fluxo condutivo pelo lei de Fourier:
Passo 4
Substituindo em
e assumindo
, obtemos
Multiplicando tudo por
e simplificando com
, chega-se a