Usando o método do balanço de energia, deduza a equação de diferenças finitas para o ponto nodal m, n localizado em uma superfície plana e isolada de um meio onde há geração uniforme de calor.
Solução:
Desenho: Rede de pontos nodais vizinhos a uma superfície isolada.
Esquema: Equação de diferenças finitas para o ponto nodal na superfície.
Considerações:
  1. Condições de regime estacionário.
  2. Condução bidimensional.
  3. Propriedades constantes.
  4. Geração de calor interna constante.
Análise: Aplicando a exigência da conservação de energia, Equação 4.30, na superfície de controle ao redor da região ( De<a x / 2, De<a y,1) associada ao nó m, n, tem-se que, com geração volumétrica de calor a uma taxa dotq.
q1+q2+q3+q4+dotq(De<a x2 cdot De<a y cdot 1)=0
onde
l q1=k(De<a y cdot 1) Tm-1, n-Tm, nDe<a x q2=k(De<a x2 cdot 1) Tm, n-1-Tm, nDe<a y q3=0 q4=k(De<a x2 cdot 1) Tm+1-Tm, nDe<a y
Substituindo no balanço de energia e dividindo por k / 2, tem-se que
2 Tm-1,n+Tm,n-1+Tm,n+1-4 Tm,n+dotq(De<a x cdot De<a y)k=0
Comentários:
  1. O mesmo resultado poderia ser obtido usando-se a condição de simetria, Tm,n+1 = Tm,n-1, com a equação de diferenças finitas (Equação 4.35) para um ponto nodal interior. Se dotq=0, o resultado desejado poderia também ser obtido fazendo-se h 0 na Equação 4.42 (Tabela 4.2).
  2. Como uma aplicação da equação de diferenças finitas anterior, considere o sistema bidimensional a seguir, no qual energia térmica é uniformemente gerada numa taxa desconhecida dotq. A condutividade térmica do sólido é conhecida, assim como as condições convectivas em uma das superfícies. Além disso, foram medidas temperaturas em locais correspondentes aos pontos nodais de uma malha de diferenças finitas.
Ta & =235.9^circ C & Tb & =227.6^circ C Tc & =230.9^circ C & Td & =220.1^circ C Te & =222.4^circ C & Tf & =200.0^circ C h & =50 W /(m^2 cdot K) & k & =1 W /(m cdot K) De<a x & =10 mm & De<a y & =10 mm
A taxa de geração pode ser determinada pela aplicação da equação de diferenças finitas no ponto nodal c.
c 2 Tb+Te+Ta-4 Tc+dotq(De<a x cdot De<a y)k=0 (2 times 227,6+222,4+235,9-4 times 230,9)^circ C+dotq(0,01 m)^21 W /(m cdot K)=0 dotq=1,01 times 10^5 W / m^3
A partir das condições térmicas especificadas e do conhecimento de dotq, nós podemos também determinar se a exigência de conservação da energia é satisfeita para o ponto nodal e. Fazendo um balanço de energia em um volume de controle ao redor desse nó, tem-se que
c q1+q2+q3+q4+dotq(De<a x / 2 cdot De<a y / 2 cdot 1)=0 k(De<a x / 2 cdot 1) Tc-TeDe<a y+0+h(De<a x / 2 cdot 1)(Tinfty-Te)+k(De<a y / 2 cdot 1) Td-TeDe<a x +dotq(De<a x / 2 cdot De<a y / 2 cdot 1)=0

Passo 1

O objetivo é deduzir a equação de diferenças finitas para o nó (m,n) que fica numa superfície plana isolada, em condições de regime estacionário, condução bidimensional, propriedades térmicas constantes e geração volumétrica uniforme de calor dot q.

Passo 2

Escolhemos um volume de controle ao redor do nó (m,n) com espessura unitária na direção perpendicular ao plano, extensão De<a y na vertical e meia espessura De<a x/2 na direção do isolamento. Nas demais direções temos a malha regular de passo De<a x e De<a y.

Passo 3

Pela conservação de energia em regime estacionário, a soma dos fluxos condutivos que entram mais a geração interna deve ser zero:
q1 + q2 + q3 + q4 ;+;dot ql(tfracDe<a x2,De<a y,1r);=;0
Expressamos cada fluxo condutivo pelo lei de Fourier:
q1 &= kl(De<a ycdot1r),Tm-1,n-Tm,nDe<a x, q2 &= kl(tfracDe<a x2cdot1r),Tm,n-1-Tm,nDe<a y, q3 &= 0(superfície isolada), q4 &= kl(tfracDe<a x2cdot1r),Tm,n+1-Tm,nDe<a y í

Passo 4

Substituindo em
q1+q2+q3+q4+dot ql(tfracDe<a x2De<a yr)=0
e assumindo De<a x=De<a y, obtemos
kDe<a yTm-1,n-Tm,nDe<a x +kDe<a x2Tm,n-1-Tm,nDe<a y +kDe<a x2Tm,n+1-Tm,nDe<a y +dot qDe<a x,De<a y2=0
Multiplicando tudo por 2/(k,De<a y/De<a x) e simplificando com De<a x=De<a y, chega-se a
2,Tm-1,n+Tm,n-1+Tm,n+1-4,Tm,n +dot q,De<a x,De<a yk=0

Resposta

2,Tm-1,n+Tm,n-1+Tm,n+1-4,Tm,n +dot q,De<a x,De<a yk=0

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