Usando o método do balanço de energia, deduza a equação de diferenças finitas para o ponto nodal m, n localizado em uma superfície plana e isolada de um meio onde há geração uniforme de calor.
Solução:
Desenho: Rede de pontos nodais vizinhos a uma superfície isolada.
Esquema: Equação de diferenças finitas para o ponto nodal na superfície.
Considerações:
Condições de regime estacionário.
Condução bidimensional.
Propriedades constantes.
Geração de calor interna constante.
Análise: Aplicando a exigência da conservação de energia, Equação 4.30, na superfície de controle ao redor da região (
De<a x / 2,
De<a y ,1) associada ao nó
m, n , tem-se que, com geração volumétrica de calor a uma taxa
dotq .
q1+q2+q3+q4+dotq(De<a x2 cdot De<a y cdot 1)=0
onde
l q1=k(De<a y cdot 1) Tm-1, n-Tm, nDe<a x q2=k(De<a x2 cdot 1) Tm, n-1-Tm, nDe<a y q3=0 q4=k(De<a x2 cdot 1) Tm+1-Tm, nDe<a y
Substituindo no balanço de energia e dividindo por
k / 2 , tem-se que
2 Tm-1,n+Tm,n-1+Tm,n+1-4 Tm,n+dotq(De<a x cdot De<a y)k=0
Comentários:
O mesmo resultado poderia ser obtido usando-se a condição de simetria,
Tm,n+1 = Tm,n-1 , com a equação de diferenças finitas (Equação 4.35) para um ponto nodal interior. Se
dotq=0 , o resultado desejado poderia também ser obtido fazendo-se
h 0 na Equação 4.42 (Tabela 4.2).
Como uma aplicação da equação de diferenças finitas anterior, considere o sistema bidimensional a seguir, no qual energia térmica é uniformemente gerada numa taxa desconhecida
dotq . A condutividade térmica do sólido é conhecida, assim como as condições convectivas em uma das superfícies. Além disso, foram medidas temperaturas em locais correspondentes aos pontos nodais de uma malha de diferenças finitas.
Ta & =235.9^circ C & Tb & =227.6^circ C Tc & =230.9^circ C & Td & =220.1^circ C Te & =222.4^circ C & Tf & =200.0^circ C h & =50 W /(m^2 cdot K) & k & =1 W /(m cdot K) De<a x & =10 mm & De<a y & =10 mm
A taxa de geração pode ser determinada pela aplicação da equação de diferenças finitas no ponto nodal
c .
c 2 Tb+Te+Ta-4 Tc+dotq(De<a x cdot De<a y)k=0 (2 times 227,6+222,4+235,9-4 times 230,9)^circ C+dotq(0,01 m)^21 W /(m cdot K)=0 dotq=1,01 times 10^5 W / m^3
A partir das condições térmicas especificadas e do conhecimento de
dotq , nós podemos também determinar se a exigência de conservação da energia é satisfeita para o ponto nodal e. Fazendo um balanço de energia em um volume de controle ao redor desse nó, tem-se que
c q1+q2+q3+q4+dotq(De<a x / 2 cdot De<a y / 2 cdot 1)=0 k(De<a x / 2 cdot 1) Tc-TeDe<a y+0+h(De<a x / 2 cdot 1)(Tinfty-Te)+k(De<a y / 2 cdot 1) Td-TeDe<a x +dotq(De<a x / 2 cdot De<a y / 2 cdot 1)=0