Exercício 2: Uma placa de madeira 12 times 12 times 1 in é exposta ao ar seco. A umidade que está em seu interior se difunde para a superfície, evapora e migra para a corrente de ar. A umidade na superfície da placa permanece constante no valor de 7,5% (base seca) durante a secagem. Após 10 horas, a umidade no centro da placa diminui de 17,6% para 11,1% (base seca). Se o coeficiente convectivo de transferência de massa pode ser considerado suficientemente grande para se despreza a transferência de massa na superfície ( m=0 ). Dado: DAB=2,4 times 10^-9 m^2 / s.
Calcule:
a) A umidade no centro da placa se todas as 6 faces forem expostas ao ar de secagem no mesmo período (10horas).
b) O tempo necessário para a umidade no centro de um cubo de madeira de 1 in reduzir de 17,6 para 11,1 %, se todas as 6 faces estiverem expostas. Utilize a mesma difusividade efetiva da água na madeira do item a.

Passo 1

O enunciado trata da secagem de uma placa de madeira de 12times12times1 in, inicialmente com umidade uniforme Mi=17,6% (base seca), cujas superfícies são mantidas a Ms=7,5%. Após t=10 h, a umidade no centro cai para Mc=11,1%. A resistência à transferência de massa na superfície é desprezível (coeficiente convectivo infinitamente grande), de modo que se aplica o modelo de difusão unidimensional na placa para determinar uma difusividade efetiva Drm eff. Em seguida:
a) recalcular a umidade central após as mesmas 10 h supondo que todas as 6 faces da placa sejam expostas (difusão tridimensional em paralelepípedo de 12times12times1 in), usando a mesma Drm eff;
b) obter o tempo para um cubo de lado 1 in passar de 17,6% a 11,1% no centro, com todas as faces expostas e mesma Drm eff.

Passo 2

Determinar Drm eff pela solução em barra (espessura total h=1 in Rightarrow semi-espessura Lz=0,5 in):
A solução em série para um slab com superfícies a Ms e M(x,0)=Mi dá no centro
Mc(t)-MsMi-Ms =8pi^2sumn=0^infty1(2n+1)^2 expl[-(2n+1)^2pi^2,Fozr],
onde
Foz=Drm eff,tLz^2,
Para Foz<=sssim0,1, basta o 1.º termo ( n=0):
Mc-MsMi-Ms approx 8pi^2expl[-pi^2,Fozr]
Substituindo Mi=17,6, Ms=7,5, Mc=11,1 e t=10 h =36000 s, tem-se
11,1-7,517,6-7,5 =0,3564 approx 8pi^2expl[-pi^2,Fozr] ;;Longrightarrow;; exp[-pi^2,Foz]=0,3564;pi^28=0,4395,
-pi^2,Foz=ln(0,4395)=-0,8235 Rightarrow Foz=0,08349
Como Lz=0,5 in =0,0127 m,
Drm eff =Foz,Lz^2t =0,08349,(0,0127)^236000 approx3,74times10^-10;m^2/s

Passo 3

a) Agora todas as 6 faces da placa 12times12times1 in estão expostas. Do centro até cada face, as meias-distâncias são
Lx=Ly=122,in=6 in=0,1524 m, Lz=0,5 in=0,0127 m
Pela separação de variáveis em paralelepípedo, o termo adimensional no centro é o produto
thetarm total =thetax;thetay;thetaz,
com cada
thetaiapprox8pi^2expl[-pi^2,Foir], Foi=Drm eff,tLi^2
Calculando cada Fo para t=36000 s e Drm eff=3,74times10^-10:
Fox=Foy =3,74times10^-10cdot36000(0,1524)^2 approx0,000579, Foz=0,08349(já achado) á
Logo
thetax=thetay approx8pi^2e^-pi^2,0,000579 =0,8106;e^-0,00571 approx0,8054, thetaz=0,3564
(essa última vem da condição inicial do slab). Assim
thetarm total =0,8054^2cdot0,3564 approx0,2329
Retornando à umidade no centro:
Mc =Ms+(Mi-Ms),thetarm total =7,5 + (17,6-7,5)times0,2329 approx7,5 +10,1cdot0,2329 approx9,85% (base seca)

Passo 4

b) Para um cubo de lado 1 in, todas as meias-distâncias são iguais:
L=0,5 in=0,0127 m
O ângulo adimensional no centro é
thetarm total =gl[8pi^2expl(-pi^2,For)gr]^3,
onde Fo=Drm eff,t/L^2. Queremos thetarm total=(Mc-Ms)/(Mi-Ms)=0,3564. Então
gl[8pi^2e^-pi^2,Fogr]^3 =0,3564 Longrightarrow 8pi^2e^-pi^2,Fo =(0,3564)^1/3=0,7077,
e^-pi^2,Fo =0,7077;pi^28=0,8729 Longrightarrow -pi^2,Fo=ln(0,8729)=-0,1360 Rightarrow Fo=0,01378
Finalmente
t =Fo,L^2Drm eff =0,01378,(0,0127)^23,74times10^-10 approx5,95times10^3;s approx1,65;h (approx1;h,39;min)

Resposta

a) Mcapprox9,85% (base seca) após 10 h com as 6 faces expostas.
b) tapprox1,65 h para o cubo de 1 in passar de 17,6% a 11,1%.

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