Exercício 1: A família dos círculos e elipses
Considere a parametrização σ(t)=(a \cos t, b \operatorname{sen} t), \operatorname{com} t \in[0,2 \pi].
Faça a=2 e b=2. Plote a curva. Qual forma geométrica ela representa? Qual a sua equação cartesiana?

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\sigma(t) = \bigl(a\cos t,\;b\sin t\bigr),\quad t\in[0,2\pi],
pede para tomar a=2 e b=2, traçar a curva, identificar sua forma geométrica e achar sua equação cartesiana. Aqui usamos noções de curva paramétrica e eliminação de parâmetro via a identidade trigonométrica \cos^2t+\sin^2t=1.

Passo 2

Substituindo a=2 e b=2, as equações paramétricas ficam
x(t)=2\cos t,\quad y(t)=2\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
Ao variar t de 0 a 2\pi, o ponto (x,y) descreve todos os pontos a uma distância constante de 2 na origem; ou seja, é um círculo de raio 2.

Passo 3

Para achar a equação cartesiana, isolamos
\cos t = \frac{x}{2},\quad \sin t = \frac{y}{2},
e aplicamos
\cos^2t + \sin^2t = 1.
Isso dá
\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 1
e, ao multiplicar ambos os lados por 4, obtemos
x^2 + y^2 = 4.

Resposta

A curva é um círculo de raio 2 centrado na origem.
Sua equação cartesiana é
x^2 + y^2 = 4.

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