Exercício 5. Fatore completamente o polinômio x^3+x^2-17 x+15.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar completamente o polinômio
x^3+x^2-17x+15
O conteúdo aqui é fatoração de polinômios de grau 3, que vamos fazer em duas etapas: primeiro achar uma raiz racional com o Teorema das Raízes Racionais, depois dividir para reduzir ao caso de uma quadrática.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, os candidatos a raiz inteira são os divisores de 15, isto é
pm1, pm3, pm5, pm15

Passo 3

Testamos x=1:
f(1)=1^3+1^2-17cdot1+15=1+1-17+15=0,
logo x=1 é raiz. Isso significa que (x-1) é um fator.

Passo 4

Dividimos x^3+x^2-17x+15 por (x-1) usando divisão sintética:
r|rrrr 1 & 1 & 1 & -17 & 15hline & & 1 & 2 & -15hline & 1 & 2 & -15 & 0
O quociente é x^2+2x-15.

Passo 5

Fatoramos a quadrática x^2+2x-15. Procuramos dois números cujo produto seja -15 e soma seja 2: são 5 e -3. Assim
x^2+2x-15=(x+5)(x-3)

Resposta

A fatoração completa é
(x-1)(x+5)(x-3)

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