Exercício para fazer: Explique, com suas palavras, como a derivada pode ser considerada a velocidade instantânea a partir do seu conhecimento sobre
velocidade média.
velocidade média.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar como a derivada pode ser vista como a velocidade instantânea, partindo do conceito de velocidade média. Vamos trabalhar com o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas e movimentos retilíneos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é velocidade média, a ideia de limite e como a derivada representa uma taxa de variação instantânea.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é velocidade média. A velocidade média é calculada pela fórmula:
Onde
é a variação do espaço (posição) e
é a variação do tempo. Isso nos dá uma ideia de quão rápido o objeto está se movendo em um intervalo de tempo maior.
Passo 3
Agora, para encontrar a velocidade instantânea, ou seja, a velocidade em um momento exato, precisamos “encurtar” o intervalo de tempo
para que ele se aproxime de zero. Isso nos leva ao conceito de limite em cálculo:
Passo 4
Esse limite é exatamente a definição de derivada da função posição em relação ao tempo. Se temos a posição
de um objeto em função do tempo, a derivada
nos dá a taxa de variação dessa posição, ou seja, a velocidade instantânea:
Passo 5
Então, a derivada
calcula como a posição está mudando exatamente naquele instante
. Diferente da velocidade média, que considera um intervalo de tempo, a velocidade instantânea foca em um ponto específico no tempo.
Resposta
Assim, a derivada da posição em relação ao tempo nos dá a velocidade instante, pois ela representa a taxa de variação da posição exatamente em um instante, derivando a ideia de velocidade média para um valor mais preciso e imediato.