Encontre uma representação em série de potência para
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Você precisa encontrar uma representação em série de potência para a expressão $ x^{2} \cdot e^{n} $. Aqui, estamos lidando com séries de potência e a função exponencial. Para resolver isso, vamos usar o que sabemos sobre a série de Taylor da função exponencial e como manipular séries de potência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potência da função exponencial $ e^{x} $. A série de Taylor de $ e^{x} $ centrada em 0 é dada por:
Aqui, $ k! $ representa o fatorial de $ k $, e a soma vai de $ k = 0 $ até o infinito.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a série para $ x^{2} \cdot e^{x} $. Basta multiplicar cada termo da série de $ e^{x} $ por $ x^{2} $:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão multiplicando $ x^{2} $ com cada termo da série:
Passo 5
Podemos reescrever a soma para que a potência de $ x $ comece de $ x^{2} $. Para isso, mudamos o índice de soma substituindo $ k + 2 $ por $ n $, onde $ n = k + 2 $. Assim, quando $ k = 0 $, $ n = 2 $, e a soma passa a ser:
Resposta
A representação em série de potência para $ x^{2} \cdot e^{x} $ é: