Calcule a integral.
integralpi / 4^pi / 3 cossec^2 theta d theta

Passo 1

A gente quer calcular a integral definida integralpi/4^pi/3 csc^2(theta),dtheta. O conteúdo é integração de funções trigonométricas e, para resolver, vamos usar a antiderivada de csc^2(theta).

Passo 2

A antiderivada conhecida é integral csc^2(theta),dtheta = -cot(theta) + C, porque a derivada de cot(theta) é -csc^2(theta).

Passo 3

Agora aplicamos os limites de integração. Primeiro escrevemos a expressão em forma de avaliação de primitiva:
[-cot(theta)]pi/4^pi/3 = -cotl(tfracpi3r) + cotl(tfracpi4r)

Passo 4

Sabendo que cot(pi/3)=1/raiz3 e cot(pi/4)=1, a gente tem
-tfrac1raiz3 + 1 = 1 - tfrac1raiz3

Resposta

1 - \tfrac{1}{\sqrt3}

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