Exercício 3: Um fio é dobrado em formato de circunferência de raio
, com densidade linear de cargas
uniforme. Calcule o potencial elétrico devido ao fio, em um ponto qualquer do seu eixo de simetria.
Passo 1
O enunciado dá um fio dobrado em formato de circunferência de raio
, com densidade linear de carga uniforme
. Pede-se: calcular o potencial elétrico devido ao fio, em um ponto qualquer do seu eixo de simetria. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- raio da circunferência:
; - densidade linear de carga (uniforme):
(carga por unidade de comprimento); - ponto onde queremos o potencial: um ponto sobre o eixo de simetria da circunferência, a uma distância
(vou chamar a essa distância de ) do centro da circunferência, medido ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel; - carga total do anel (informação útil):
.
Nada mais será assumido além do zero do potencial no infinito (referência usual).
Passo 2
Relembrando a fórmula básica que vamos usar (aula rápida e direta): o potencial elétrico escalar produzido por uma carga pontual
num ponto situado a uma distância
dessa carga, tomando o potencial nulo no infinito, é
onde
é a permissividade do vácuo. Explicando as variáveis:
é uma constante física (
),
é a carga pontual e
é a distância entre a carga e o ponto onde medimos o potencial.
Para uma distribuição contínua de carga, usamos superposição: o potencial total é a soma (integral) das contribuições
de elementos de carga
:
onde
aqui é a distância entre o elemento
e o ponto de observação. Essa fórmula é direta: cada pouquinho de carga se comporta como uma carga pontual e a soma de todas as contribuições dá o potencial total.
Passo 3
Escolhendo coordenadas e parametrização do anel (isso facilita muito): coloque o centro do anel na origem e o plano do anel no plano
. O eixo de simetria é o eixo
. O ponto de observação está no eixo
em coordenada
(distância
acima do centro; se estiver abaixo,
pode ser negativo — a fórmula ficará simétrica em
). Parametrizamos o anel por um ângulo
variando de
a
. Um elemento de comprimento do anel é
portanto a carga desse elemento é
Aqui explicitamos o que cada símbolo significa:
é o ângulo polar ao longo do anel,
é comprimento infinitesimal,
é carga infinitesimal, e
é a densidade linear (carga/ comprimento).
Passo 4
Calculando a distância
entre um elemento
localizado num ponto do anel (no plano
a raio
) e o ponto sobre o eixo a altura
: pela geometria (teorema de Pitágoras), a distância entre esse elemento e o ponto sobre o eixo é
Importante: essa distância não depende de
; todo elemento do anel está à mesma distância do ponto sobre o eixo. Esse fato é o que torna a integral trivial — é a grande vantagem de usarmos o eixo de simetria.
Passo 5
Agora escrevemos a integral do potencial com os itens já identificados. Usando
substituímos
e
(constante em
). Assim
Como
é constante em relação a
, ela sai da integral:
Passo 6
A integral
é simplesmente
. Portanto
Simplificando os fatores numéricos:
Outra forma, usando
, é escrever
Ambas são equivalentes; fique à vontade para usar a forma que achar mais clara na prova.
Passo 7
Interpretações rápidas e checagens (põe a cabeça no lugar e anima!): se
(ponto no centro do anel) obtemos
o que faz sentido — potencial finito no centro. Para
a expressão tende a
ou seja, à distância grande o anel se comporta como uma carga pontual
. Observação sobre sinal: o sinal do potencial acompanha o sinal de
; se
o potencial é positivo, se
é negativo. Lembre-se: escolhemos a referência
.