Exercício 3: Um fio é dobrado em formato de circunferência de raio R, com densidade linear de cargas \lambda uniforme. Calcule o potencial elétrico devido ao fio, em um ponto qualquer do seu eixo de simetria.

Passo 1

O enunciado dá um fio dobrado em formato de circunferência de raio R, com densidade linear de carga uniforme \lambda. Pede-se: calcular o potencial elétrico devido ao fio, em um ponto qualquer do seu eixo de simetria. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • raio da circunferência: R;
  • densidade linear de carga (uniforme): \lambda (carga por unidade de comprimento);
  • ponto onde queremos o potencial: um ponto sobre o eixo de simetria da circunferência, a uma distância z (vou chamar a essa distância de z) do centro da circunferência, medido ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel;
  • carga total do anel (informação útil): Q=\lambda\cdot 2\pi R.
    Nada mais será assumido além do zero do potencial no infinito (referência usual).

Passo 2

Relembrando a fórmula básica que vamos usar (aula rápida e direta): o potencial elétrico escalar produzido por uma carga pontual q num ponto situado a uma distância r dessa carga, tomando o potencial nulo no infinito, é
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r},
onde \epsilon_0 é a permissividade do vácuo. Explicando as variáveis: \epsilon_0 é uma constante física ( \approx 8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}), q é a carga pontual e r é a distância entre a carga e o ponto onde medimos o potencial.
Para uma distribuição contínua de carga, usamos superposição: o potencial total é a soma (integral) das contribuições dV de elementos de carga dq:
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{dq}{r},
onde r aqui é a distância entre o elemento dq e o ponto de observação. Essa fórmula é direta: cada pouquinho de carga se comporta como uma carga pontual e a soma de todas as contribuições dá o potencial total.

Passo 3

Escolhendo coordenadas e parametrização do anel (isso facilita muito): coloque o centro do anel na origem e o plano do anel no plano xy. O eixo de simetria é o eixo z. O ponto de observação está no eixo z em coordenada z (distância z acima do centro; se estiver abaixo, z pode ser negativo — a fórmula ficará simétrica em z). Parametrizamos o anel por um ângulo \varphi variando de 0 a 2\pi. Um elemento de comprimento do anel é
dl = R\,d\varphi,
portanto a carga desse elemento é
dq = \lambda\,dl = \lambda R\,d\varphi.
Aqui explicitamos o que cada símbolo significa: \varphi é o ângulo polar ao longo do anel, dl é comprimento infinitesimal, dq é carga infinitesimal, e \lambda é a densidade linear (carga/ comprimento).

Passo 4

Calculando a distância r entre um elemento dq localizado num ponto do anel (no plano xy a raio R) e o ponto sobre o eixo a altura z: pela geometria (teorema de Pitágoras), a distância entre esse elemento e o ponto sobre o eixo é
r=\sqrt{R^2+z^2}.
Importante: essa distância não depende de \varphi; todo elemento do anel está à mesma distância do ponto sobre o eixo. Esse fato é o que torna a integral trivial — é a grande vantagem de usarmos o eixo de simetria.

Passo 5

Agora escrevemos a integral do potencial com os itens já identificados. Usando
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{dq}{r},
substituímos dq=\lambda R\,d\varphi e r=\sqrt{R^2+z^2} (constante em \varphi). Assim
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{0}^{2\pi}\frac{\lambda R\,d\varphi}{\sqrt{R^2+z^2}}.
Como \sqrt{R^2+z^2} é constante em relação a \varphi, ela sai da integral:
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda R}{\sqrt{R^2+z^2}}\int_{0}^{2\pi}d\varphi.

Passo 6

A integral \int_{0}^{2\pi}d\varphi é simplesmente 2\pi. Portanto
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda R}{\sqrt{R^2+z^2}}\cdot 2\pi.
Simplificando os fatores numéricos:
V=\frac{\lambda R}{2\epsilon_0}\cdot\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}.
Outra forma, usando Q=\lambda\cdot 2\pi R, é escrever
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\sqrt{R^2+z^2}}.
Ambas são equivalentes; fique à vontade para usar a forma que achar mais clara na prova.

Passo 7

Interpretações rápidas e checagens (põe a cabeça no lugar e anima!): se z=0 (ponto no centro do anel) obtemos
V(0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R}=\frac{\lambda R}{2\epsilon_0}\cdot\frac{1}{R}=\frac{\lambda}{2\epsilon_0},
o que faz sentido — potencial finito no centro. Para z\to\infty a expressão tende a
V(z)\approx\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{z},
ou seja, à distância grande o anel se comporta como uma carga pontual Q. Observação sobre sinal: o sinal do potencial acompanha o sinal de \lambda; se \lambda>0 o potencial é positivo, se \lambda<0 é negativo. Lembre-se: escolhemos a referência V(\infty)=0.

Resposta

V(z)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\sqrt{R^2+z^2}}
V(z)=\frac{\lambda R}{2\epsilon_0}\cdot\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}

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