Exercício 2: Considere duas cargas de intensidades iguais, q_{1}=q_{2}=5,0 n C. A carga q_{1} é colocada na posição ( 0,0,0 ) e a carga q_{2} é colocada a 8 c m da carga q_{1} na direção x, ou seja, em ( 8,0,0 ) c m. Calcule o potencial elétrico V no ponto \vec{r}=(4,0,0) c m e no ponto \vec{r}=(0,6,0) c m. Use como referência \Phi(\infty)=0.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais iguais colocadas nas posições abaixo e pede o potencial elétrico nos dois pontos indicados, com referência \Phi(\infty)=0.
  • Cargas: \,q_{1}=q_{2}=5{,}0\\ \text{nC}.
  • Posições (em centímetros): \,q_{1} em (0,0,0)\\ \text{cm} e \,q_{2} em (8,0,0)\\ \text{cm}.
  • Pontos onde calcular V:
    • Ponto A: \vec{r}=(4,0,0)\\ \text{cm}.
    • Ponto B: \vec{r}=(0,6,0)\\ \text{cm}.
  • Referência do potencial: \Phi(\infty)=0 (ou seja, V tende a zero quando estamos muito longe).

Passo 2

Fórmula e ideia física (aula rapidinha e prática).
  • Potencial devido a uma carga pontual: V(\vec r)=k\,\frac{q}{r},
onde:
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} é a constante eletrostática;
  • q é a carga (em coulombs);
  • r é a distância do ponto considerado até a carga (em metros).
  • Porque o potencial é escalar: ao contrário do campo elétrico (vetor), o potencial soma simplesmente as contribuições de cada carga. Assim, para várias cargas: V_{\text{total}}(\vec r)=\sum_{i} k\,\frac{q_{i}}{r_{i}}.
Explicação didática: cada carga “põe” um valor de potencial em cada ponto; como potencial é número (escala), somamos normalmente.

Passo 3

Converter unidades para trabalhar com SI (m e C).
  • Cargas: q_{1}=q_{2}=5{,}0\\ \text{nC}=5{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • Conversão de posições (1 cm =0{,}01 m):
    • q_{1} em (0,0,0)\\ \text{cm})\Rightarrow(0,0,0)\\ \mathrm{m}.
    • q_{2} em (8,0,0)\\ \text{cm})\Rightarrow(0{,}08,0,0)\\ \mathrm{m}.
    • Ponto A: (4,0,0)\\ \text{cm})\Rightarrow(0{,}04,0,0)\\ \mathrm{m}.
    • Ponto B: (0,6,0)\\ \text{cm})\Rightarrow(0,0{,}06,0)\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo do potencial em \vec{r}=(4,0,0)\\ \text{cm} (ponto A).
  • Distâncias do ponto A às cargas:
    • Até q_{1} em (0,0,0): r_{1}=0{,}04\\ \mathrm{m}.
    • Até q_{2} em (0{,}08,0,0): r_{2}=|0{,}08-0{,}04|=0{,}04\\ \mathrm{m}.
(Observação: peguei esses dados das posições fornecidas no enunciado.)
  • Agora usamos a superposição: V_{A}=k\left(\frac{q_{1}}{r_{1}}+\frac{q_{2}}{r_{2}}\right).
  • Primeiro calcule kq: kq = \left(8{,}99\times10^{9}\right)\left(5{,}0\times10^{-9}\right)=44{,}95.
(Unidade resultante é volt·metro dividido por metro dá volts no final.)
  • Substituindo: V_{A}=44{,}95\left(\frac{1}{0{,}04}+\frac{1}{0{,}04}\right)=44{,}95\cdot(25+25)=44{,}95\cdot50.
  • Multiplicando: V_{A}=2{,}247{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{V}=2247{,}5\\ \mathrm{V}.
Interpretação rápida: como o ponto está no meio entre duas cargas positivas iguais, as contribuições somam e o potencial fica maior.

Passo 5

Cálculo do potencial em \vec{r}=(0,6,0)\\ \text{cm} (ponto B).
  • Distâncias do ponto B às cargas:
    • Até q_{1} em (0,0,0): r_{1}=0{,}06\\ \mathrm{m}.
    • Até q_{2} em (0{,}08,0,0): calcular pela distância euclidiana:
      • Em centímetros: diferença em x é 8\\ \text{cm} e em y é -6\\ \text{cm}, então a distância é \sqrt{8^{2}+6^{2}}= \sqrt{100}=10\\ \text{cm}.
      • Em metros: r_{2}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
(Novamente: peguei os valores diretamente das posições do enunciado.)
  • Superposição: V_{B}=k\left(\frac{q_{1}}{r_{1}}+\frac{q_{2}}{r_{2}}\right).
  • Já temos kq=44{,}95. Então: V_{B}=44{,}95\left(\frac{1}{0{,}06}+\frac{1}{0{,}10}\right).
  • Calcule as recíprocas: \dfrac{1}{0{,}06}=16{,}\overline{6} e \dfrac{1}{0{,}10}=10. Soma: 26{,}666\ldots = \dfrac{80}{3}.
  • Multiplicando de forma exata: V_{B}=44{,}95\cdot\frac{80}{3}=\frac{44{,}95\cdot80}{3}=\frac{3{,}596}{3}=1{,}198{,}666\ldots\times10^{0}\\ \mathrm{V}.
  • Em notação prática: V_{B}\approx1{,}198{,}67\\ \mathrm{V}\approx1{,}199\times10^{3}\\ \mathrm{V}.
(Arredondei para duas casas decimais no resultado final.)

Passo 6

Resumo rápido e interpretação:
  • Ambos os potenciais são positivos porque as cargas são positivas.
  • O ponto A (no meio) tem potencial maior porque está mais próximo das duas cargas (distâncias menores -> contribuição maior).
  • Os cálculos foram feitos convertendo as unidades para SI, usando k, aplicando a fórmula do potencial de ponto e somando as contribuições (superposição).

Resposta

V(\vec r=(4,0,0)\\ \text{cm})=2247{,}5\\ \mathrm{V}\n
V(\vec r=(0,6,0)\\ \text{cm})=1198{,}67\\ \mathrm{V}

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