Nos problemas de 11 a 14 , resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce.
9 y^{\prime \prime}-12 y^{\prime}+4 y=0 . \quad y(0)=2 . \quad y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condições iniciais e pede que se resolva, que se esboce o gráfico da solução e que se descreva o comportamento quando t cresce. Dados fornecidos:
  • Equação diferencial: 9\,y''-12\,y'+4\,y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=2 e y'(0)=-1.
    Perguntas a responder:
  • Determinar a solução y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais.
  • Esboçar (descrever) o gráfico de y(t) para t\ge0.
  • Descrever o comportamento de y(t) quando t\to\infty.

Passo 2

Como método, vamos buscar soluções da forma y(t)=e^{r t}. Por que isso funciona? Se substituirmos y=e^{r t} nas derivadas, temos y'=r e^{r t} e y''=r^2 e^{r t}; como e^{r t} nunca é zero, a equação reduz-se a um polinômio em r, chamado equação característica. Substituindo:
9 r^2 -12 r +4 = 0.
Esta é a equação característica associada à equação diferencial; suas raízes determinam a forma geral das soluções.

Passo 3

Vamos resolver a equação característica. Calcula-se o discriminante:
\Delta = (-12)^2 - 4\cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0.
Como o discriminante é zero, há uma raiz real dupla. A raiz é
r = \frac{12}{2\cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}.
Quando a equação característica tem uma raiz dupla r, as soluções independentes são e^{r t} e t e^{r t}. Isso acontece porque precisamos de duas soluções linearmente independentes para formar a solução geral de uma equação de segunda ordem; a raiz repetida força o segundo gerador a ser multiplicado por t.

Passo 4

Portanto, a solução geral da equação homogênea é
y(t) = \bigl(C_1 + C_2 t\bigr) e^{\frac{2}{3}t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais. Aqui C_1 e C_2 são números reais que ajustam a combinação linear das duas soluções independentes.

Passo 5

Agora calculamos y'(t) para aplicar a condição inicial y'(0)=-1. Usamos a regra do produto:
y'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(C_1 + C_2 t\bigr)\,e^{\frac{2}{3}t} + \bigl(C_1 + C_2 t\bigr)\,\frac{2}{3}e^{\frac{2}{3}t}.
Simplificando:
y'(t) = \bigl(C_2 + \tfrac{2}{3}C_1 + \tfrac{2}{3}C_2 t\bigr) e^{\frac{2}{3}t}.

Passo 6

Aplicamos agora as condições iniciais para encontrar C_1 e C_2.
Da condição y(0)=2:
y(0) = \bigl(C_1 + C_2\cdot 0\bigr) e^{0} = C_1 = 2.
Da condição y'(0)=-1: usando C_1=2,
y'(0) = \bigl(C_2 + \tfrac{2}{3}C_1\bigr)e^{0} = C_2 + \tfrac{2}{3}\cdot 2 = C_2 + \tfrac{4}{3}.
Igualando a -1 obtemos
C_2 + \tfrac{4}{3} = -1 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -1 - \tfrac{4}{3} = -\tfrac{7}{3}.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução particular:
y(t) = \left(2 - \tfrac{7}{3}t\right) e^{\frac{2}{3}t}.
Esta é a resposta explícita do problema.

Passo 8

Agora estudamos o gráfico e o comportamento quando t cresce. Primeiro, calculemos y'(t) com as constantes já colocadas para analisar monotonicidade:
y'(t) = e^{\frac{2}{3}t}\Bigl(-1 - \tfrac{14}{9}t\Bigr).
Observe que para t\ge 0 temos -1 - \tfrac{14}{9}t < 0, e e^{\frac{2}{3}t}>0, portanto y'(t)<0 para todo t\ge 0. Conclusão: a solução é estritamente decrescente em [0,\infty).
O zero de y(t) ocorre quando o fator linear se anula:
2 - \tfrac{7}{3}t = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{6}{7}\approx 0,8571.
Logo a solução parte de y(0)=2, decresce, atinge y=0 em t=\tfrac{6}{7} e continua decrescendo para valores negativos.
Quanto ao comportamento assintótico, para t\to\infty domina o fator exponencial positivo e^{\frac{2}{3}t} multiplicado por um coeficiente linear negativo -\tfrac{7}{3}t, portanto
y(t)\sim -\tfrac{7}{3}t\,e^{\frac{2}{3}t}\to -\infty\quad\text{quando }t\to\infty.

Passo 9

Resumo gráfico e observações finais (para esboço mental):
  • Ponto inicial: y(0)=2.
  • Inclinação inicial: y'(0)=-1 (começa decrescendo).
  • Cruzamento com o eixo t: em t=\tfrac{6}{7}.
  • Monotonicidade: decrescente para todo t\ge 0.
  • Comportamento para t\to\infty: tende a -\infty de forma exponencial multiplicada por t (crescimento em módulo muito rápido, sinal negativo).

Resposta

y(t)=\left(2-\dfrac{7}{3}t\right)e^{\frac{2}{3}t}
A solução é estritamente decrescente para t\ge0, tem zero em t=\dfrac{6}{7} e satisfaz y(t)\to -\infty quando t\to\infty.

Exercícios relacionados