Nos problemas de 11 a 14 , resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando
cresce.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condições iniciais e pede que se resolva, que se esboce o gráfico da solução e que se descreva o comportamento quando
cresce. Dados fornecidos:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
e .
Perguntas a responder: - Determinar a solução
que satisfaz a equação e as condições iniciais. - Esboçar (descrever) o gráfico de
para . - Descrever o comportamento de
quando .
Passo 2
Como método, vamos buscar soluções da forma
. Por que isso funciona? Se substituirmos
nas derivadas, temos
e
; como
nunca é zero, a equação reduz-se a um polinômio em
, chamado equação característica. Substituindo:
Esta é a equação característica associada à equação diferencial; suas raízes determinam a forma geral das soluções.
Passo 3
Vamos resolver a equação característica. Calcula-se o discriminante:
Como o discriminante é zero, há uma raiz real dupla. A raiz é
Quando a equação característica tem uma raiz dupla
, as soluções independentes são
e
. Isso acontece porque precisamos de duas soluções linearmente independentes para formar a solução geral de uma equação de segunda ordem; a raiz repetida força o segundo gerador a ser multiplicado por
.
Passo 4
Portanto, a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Aqui
e
são números reais que ajustam a combinação linear das duas soluções independentes.
Passo 5
Agora calculamos
para aplicar a condição inicial
. Usamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Aplicamos agora as condições iniciais para encontrar
e
.
Da condição
:
Da condição
: usando
,
Igualando a
obtemos
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular:
Esta é a resposta explícita do problema.
Passo 8
Agora estudamos o gráfico e o comportamento quando
cresce. Primeiro, calculemos
com as constantes já colocadas para analisar monotonicidade:
Observe que para
temos
, e
, portanto
para todo
. Conclusão: a solução é estritamente decrescente em
.
O zero de
ocorre quando o fator linear se anula:
Logo a solução parte de
, decresce, atinge
em
e continua decrescendo para valores negativos.
Quanto ao comportamento assintótico, para
domina o fator exponencial positivo
multiplicado por um coeficiente linear negativo
, portanto
Passo 9
Resumo gráfico e observações finais (para esboço mental):
- Ponto inicial:
. - Inclinação inicial:
(começa decrescendo). - Cruzamento com o eixo
: em . - Monotonicidade: decrescente para todo
. - Comportamento para
: tende a de forma exponencial multiplicada por (crescimento em módulo muito rápido, sinal negativo).
Resposta
A solução é estritamente decrescente para