Tempo de voo e alcance horizontal
a) Determine o tempo total de voo até o projéctil atingir o solo
.
b) Calcule o alcance horizontal correspondente (valor de
no instante em que o projéctil atinge o solo).
a) Determine o tempo total de voo até o projéctil atingir o solo
b) Calcule o alcance horizontal correspondente (valor de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar o tempo total de voo até o projéctil atingir o solo
. - (b) Calcular o alcance horizontal correspondente (valor de
no instante em que o projéctil atinge o solo).
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma específica (não foram dados valores numéricos de velocidade inicial, ângulo ou altura inicial).
Informações ausentes e que são necessárias para obter valores numéricos: a velocidade inicial
, o ângulo de lançamento
(relativo à horizontal) e a altura inicial
(a altura do projéctil no instante
). Como esses dados não foram fornecidos, não há como dar um tempo numérico nem um alcance numérico. Contudo, podemos obter as fórmulas gerais em termos de
,
,
e da aceleração da gravidade
. Vou seguir para deduzir essas fórmulas passo a passo.
Passo 2
Definição do sistema de referência e variáveis (é importante entender e anotar tudo, como num mapa antes de partir):
- Escolhemos eixo vertical
positivo para cima e eixo horizontal positivo na direção do lançamento. - Aceleração da gravidade tem módulo
e aponta para baixo; na equação vertical aparece como uma aceleração (com ). - Variáveis iniciais:
- altura inicial
(pode ser zero se o lançamento é do solo), - posição horizontal inicial
. Por simplicidade costuma-se tomar , - velocidade inicial
, - ângulo de lançamento
(medido em relação à horizontal).
- altura inicial
- Componentes da velocidade inicial:
- componente horizontal
, - componente vertical
.
- componente horizontal
Explicação curta: decompor a velocidade em horizontal e vertical é essencial porque a aceleração atua só na direção vertical; independência do movimento em cada direção é a chave.
Passo 3
Equações horária do movimento (cinemática com aceleração constante). Aqui explico as fórmulas e o que cada termo significa.
Equação vertical (posição
em função do tempo
):
-
é a altura no instante . -
é a altura inicial. -
é a velocidade inicial vertical ( ). -
é a parte devido à desaceleração vertical por gravidade (o sinal negativo porque a gravidade puxa para baixo).
Equação horizontal (posição
em função do tempo
):
-
é a posição horizontal inicial (vamos tomar para simplicidade). -
é a velocidade horizontal constante ( ) porque não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar).
Passo 4
Encontrar o tempo de impacto: solução da equação
.
Colocamos
na equação vertical e obtemos a equação quadrática em
:
Reescrevendo na forma padrão
(multiplicando por
para facilitar a leitura):
Aqui
,
e
.
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para
,
Substituindo
,
,
:
Explicação do discriminante e escolha da raiz:
- O discriminante aqui é
. Note que ele é sempre se , o que é normalmente verdade para lançamentos físicos (se for muito negativo isso significaria começar muito abaixo do solo). - As duas soluções correspondem a dois instantes em que a parábola vertical cruzaria
: um pode ser negativo (antes do instante ) e outro positivo (o impacto futuro). O tempo físico de voo é a raiz positiva:
Verificação de casos especiais:
- Se
(lançamento do solo), temos
Para lançamentos para cima
, isso dá
, resultando na fórmula clássica. Para lançamentos para baixo, a fórmula também funciona com o sinal correto.
Lembrete prático para prova: sempre escolha a raiz positiva; se aparecer uma raiz zero e outra positiva, a positiva é o tempo de voo (a raiz zero corresponde ao instante inicial se
).
Passo 5
Expressar
em termos de
e
. Lembre que
. Assim
Essa é a fórmula geral do tempo total de voo até o projéctil atingir
.
Passo 6
Calcular o alcance horizontal (a posição
no instante do impacto).
Com
e
, o alcance
é
Substituindo
:
Passo 7
Casos especiais úteis (decora para a prova, são frequentemente pedidos):
- Se o lançamento é do solo (
), então
e
Essas são as fórmulas clássicas (tempo total e alcance máximo para lançamento e queda ao mesmo nível).
Passo 8
Como usar na prática na prova (dicas passo a passo na hora):
- Identifique
, e . Se algum estiver faltando, o problema geralmente pede expressão simbólica. - Calcule
e . - Resolva
para achar ; escolha a raiz positiva dada por
- Calcule
. - Verifique dimensões e sinais:
deve ser positivo; se der negativo algo está errado com sinais ou com a escolha da raiz.
Resposta
(a)
\n(b)