Tempo de voo e alcance horizontal
a) Determine o tempo total de voo até o projéctil atingir o solo (y=0).
b) Calcule o alcance horizontal correspondente (valor de { }^{x} no instante em que o projéctil atinge o solo).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar o tempo total de voo até o projéctil atingir o solo (y=0).
  2. (b) Calcular o alcance horizontal correspondente (valor de x no instante em que o projéctil atinge o solo).
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma específica (não foram dados valores numéricos de velocidade inicial, ângulo ou altura inicial).
Informações ausentes e que são necessárias para obter valores numéricos: a velocidade inicial v_0, o ângulo de lançamento \theta (relativo à horizontal) e a altura inicial y_0 (a altura do projéctil no instante t=0). Como esses dados não foram fornecidos, não há como dar um tempo numérico nem um alcance numérico. Contudo, podemos obter as fórmulas gerais em termos de v_0, \theta, y_0 e da aceleração da gravidade g. Vou seguir para deduzir essas fórmulas passo a passo.

Passo 2

Definição do sistema de referência e variáveis (é importante entender e anotar tudo, como num mapa antes de partir):
  • Escolhemos eixo vertical y positivo para cima e eixo horizontal x positivo na direção do lançamento.
  • Aceleração da gravidade tem módulo g e aponta para baixo; na equação vertical aparece como uma aceleração -g (com g>0).
  • Variáveis iniciais:
    • altura inicial y(0)=y_0 (pode ser zero se o lançamento é do solo),
    • posição horizontal inicial x(0)=x_0. Por simplicidade costuma-se tomar x_0=0,
    • velocidade inicial v_0,
    • ângulo de lançamento \theta (medido em relação à horizontal).
  • Componentes da velocidade inicial:
    • componente horizontal v_{0x}=v_0\cos\theta,
    • componente vertical v_{0y}=v_0\sin\theta.
Explicação curta: decompor a velocidade em horizontal e vertical é essencial porque a aceleração atua só na direção vertical; independência do movimento em cada direção é a chave.

Passo 3

Equações horária do movimento (cinemática com aceleração constante). Aqui explico as fórmulas e o que cada termo significa.
Equação vertical (posição y em função do tempo t):
y(t)=y_0 + v_{0y}\,t - \frac{1}{2} g t^2.
  • y(t) é a altura no instante t.
  • y_0 é a altura inicial.
  • v_{0y} é a velocidade inicial vertical ( v_0\sin\theta).
  • -\tfrac{1}{2}gt^2 é a parte devido à desaceleração vertical por gravidade (o sinal negativo porque a gravidade puxa para baixo).
Equação horizontal (posição x em função do tempo t):
x(t)=x_0 + v_{0x}\,t.
  • x_0 é a posição horizontal inicial (vamos tomar x_0=0 para simplicidade).
  • v_{0x} é a velocidade horizontal constante ( v_0\cos\theta) porque não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar).

Passo 4

Encontrar o tempo de impacto: solução da equação y(t)=0.
Colocamos y(t)=0 na equação vertical e obtemos a equação quadrática em t:
0 = y_0 + v_{0y}\,t - \frac{1}{2} g t^2.
Reescrevendo na forma padrão a t^2 + b t + c = 0 (multiplicando por -1 para facilitar a leitura):
\frac{1}{2} g t^2 - v_{0y}\,t - y_0 = 0.
Aqui a=\tfrac{1}{2}g, b=-v_{0y} e c=-y_0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a t^2 + b t + c = 0,
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Substituindo a, b, c:
t = \frac{v_{0y} \pm \sqrt{v_{0y}^2 + 2 g y_0}}{g}.
Explicação do discriminante e escolha da raiz:
  • O discriminante aqui é v_{0y}^2 + 2 g y_0. Note que ele é sempre \ge 0 se y_0\ge -v_{0y}^2/(2g), o que é normalmente verdade para lançamentos físicos (se y_0 for muito negativo isso significaria começar muito abaixo do solo).
  • As duas soluções correspondem a dois instantes em que a parábola vertical cruzaria y=0: um pode ser negativo (antes do instante t=0) e outro positivo (o impacto futuro). O tempo físico de voo é a raiz positiva:
t_{\text{voo}} = \frac{v_{0y} + \sqrt{v_{0y}^2 + 2 g y_0}}{g}.
Verificação de casos especiais:
  • Se y_0=0 (lançamento do solo), temos
t_{\text{voo}} = \frac{v_{0y} + \sqrt{v_{0y}^2}}{g} = \frac{v_{0y} + |v_{0y}|}{g}.
Para lançamentos para cima v_{0y}>0, isso dá t_{\text{voo}} = \frac{2 v_{0y}}{g}, resultando na fórmula clássica. Para lançamentos para baixo, a fórmula também funciona com o sinal correto.
Lembrete prático para prova: sempre escolha a raiz positiva; se aparecer uma raiz zero e outra positiva, a positiva é o tempo de voo (a raiz zero corresponde ao instante inicial se y_0=0).

Passo 5

Expressar t_{\text{voo}} em termos de v_0 e \theta. Lembre que v_{0y}=v_0\sin\theta. Assim
t_{\text{voo}} = \frac{v_0\sin\theta + \sqrt{(v_0\sin\theta)^2 + 2 g y_0}}{g}.
Essa é a fórmula geral do tempo total de voo até o projéctil atingir y=0.

Passo 6

Calcular o alcance horizontal (a posição x no instante do impacto).
Com x_0=0 e v_{0x}=v_0\cos\theta, o alcance R é
R = x(t_{\text{voo}}) = v_{0x}\,t_{\text{voo}} = v_0\cos\theta \; t_{\text{voo}}.
Substituindo t_{\text{voo}}:
R = v_0\cos\theta\cdot \frac{v_0\sin\theta + \sqrt{(v_0\sin\theta)^2 + 2 g y_0}}{g}.

Passo 7

Casos especiais úteis (decora para a prova, são frequentemente pedidos):
  • Se o lançamento é do solo ( y_0=0), então
t_{\text{voo}} = \frac{2 v_0\sin\theta}{g}
e
R = v_0\cos\theta \cdot \frac{2 v_0\sin\theta}{g} = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}.
Essas são as fórmulas clássicas (tempo total e alcance máximo para lançamento e queda ao mesmo nível).

Passo 8

Como usar na prática na prova (dicas passo a passo na hora):
  1. Identifique y_0, v_0 e \theta. Se algum estiver faltando, o problema geralmente pede expressão simbólica.
  2. Calcule v_{0x}=v_0\cos\theta e v_{0y}=v_0\sin\theta.
  3. Resolva y(t)=0 para achar t; escolha a raiz positiva dada por
t_{\text{voo}} = \frac{v_{0y} + \sqrt{v_{0y}^2 + 2 g y_0}}{g}.
  1. Calcule R = v_{0x}\,t_{\text{voo}}.
  2. Verifique dimensões e sinais: t_{\text{voo}} deve ser positivo; se der negativo algo está errado com sinais ou com a escolha da raiz.

Resposta

(a) t_{\text{voo}}=\dfrac{v_{0}\sin\theta+\sqrt{(v_{0}\sin\theta)^{2}+2g\,y_{0}}}{g}\n(b) R=v_{0}\cos\theta\cdot\dfrac{v_{0}\sin\theta+\sqrt{(v_{0}\sin\theta)^{2}+2g\,y_{0}}}{g}

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