Seja
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Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
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Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = 4 - x^{2} - y^{2} $ e precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto $ A = (1, 1, 2) $. Esse tipo de problema está relacionado a estudo de superfícies e planos tangentes em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ e usar a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ A = (1, 1) $:
Para $ f_x $:
Para $ f_y $:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula do plano tangente. A equação do plano tangente a $ z = f(x, y) $ no ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Distribuindo os coeficientes:
Somando os termos constantes:
Isolando $ z $:
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ A = (1, 1, 2) $ é: