Exercício 0.5 Sejam
tais que
e
. Determine
relação entre
e
, de modo que
?
Passo 1
O enunciado dá duas funções afins definidas em
:
A pergunta é: qual é a relação entre
para que
(ou seja, para que as composições das duas funções sejam iguais)?
Passo 2
Vou lembrar o que significa composição de funções:
. Isso quer dizer que primeiro aplico
em
e depois aplico
ao resultado. Agora calculo explicitamente
substituindo
na fórmula de
:
Distribuindo o
dentro do parênteses, obtenho
Passo 3
Agora calculo
. Substituo
na fórmula de
:
Distribuindo o
, obtenho
Passo 4
Queremos
para todo
. Portanto as expressões encontradas devem ser iguais como funções de
:
Aqui é importante usar um princípio básico: duas funções polinomiais (aqui, polinômios de grau ≤1) são iguais para todo
se e somente se os coeficientes dos mesmos poderes de
forem iguais. Ou seja, precisamos igualar o coeficiente de
e igualar o termo constante.
Passo 5
Igualando os coeficientes de
:
que é verdade automaticamente (a multiplicação é comutativa), então não dá restrição nova.
Igualando os termos constantes:
Agora vou rearranjar essa igualdade para obter uma relação clara entre
. Subtraindo
de ambos os lados e subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
no lado esquerdo e
no lado direito:
Passo 6
Portanto a condição necessária e suficiente para
é
Interpretações/observações úteis para a prova:
- Se
e essa igualdade vira e qualquer funcionam — isso corresponde ao caso em que as duas funções são apenas translações e , que sempre comutam. - Se
e , a igualdade exige ; isto é, (identidade mais possível translação nula) para que comute com . - Se
e , a igualdade exige . - Se nenhum dos coeficientes multiplicativos é
, então a relação liga e por .
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar: escolha
,
,
. Pela fórmula, precisamos de
Verificando:
e
. Batem, ótimo!