Exercício 0.5 Sejam f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tais que f(x)=a x+b e g(x)=c x+d. Determine a relação entre a, b, c e d, de modo que f \circ g=g \circ f ?

Passo 1

O enunciado dá duas funções afins definidas em \mathbb{R}:
f(x)=a x+b
g(x)=c x+d
A pergunta é: qual é a relação entre a,b,c,d para que f\circ g=g\circ f (ou seja, para que as composições das duas funções sejam iguais)?

Passo 2

Vou lembrar o que significa composição de funções: (f\circ g)(x)=f(g(x)). Isso quer dizer que primeiro aplico g em x e depois aplico f ao resultado. Agora calculo explicitamente (f\circ g)(x) substituindo g(x) na fórmula de f:
(f\circ g)(x)=f(g(x))=f\big(cx+d\big)=a\big(cx+d\big)+b.
Distribuindo o a dentro do parênteses, obtenho
(f\circ g)(x)=a c x + a d + b.

Passo 3

Agora calculo (g\circ f)(x)=g(f(x)). Substituo f(x) na fórmula de g:
(g\circ f)(x)=g(ax+b)=c\big(ax+b\big)+d.
Distribuindo o c, obtenho
(g\circ f)(x)=c a x + c b + d.

Passo 4

Queremos f\circ g=g\circ f para todo x\in\mathbb{R}. Portanto as expressões encontradas devem ser iguais como funções de x:
a c x + a d + b = c a x + c b + d \quad\text{para todo }x.
Aqui é importante usar um princípio básico: duas funções polinomiais (aqui, polinômios de grau ≤1) são iguais para todo x se e somente se os coeficientes dos mesmos poderes de x forem iguais. Ou seja, precisamos igualar o coeficiente de x e igualar o termo constante.

Passo 5

Igualando os coeficientes de x:
a c = c a,
que é verdade automaticamente (a multiplicação é comutativa), então não dá restrição nova.
Igualando os termos constantes:
a d + b = c b + d.
Agora vou rearranjar essa igualdade para obter uma relação clara entre a,b,c,d. Subtraindo d de ambos os lados e subtraindo b de ambos os lados:
a d - d = c b - b.
Fatorando d no lado esquerdo e b no lado direito:
d(a-1)=b(c-1).

Passo 6

Portanto a condição necessária e suficiente para f\circ g=g\circ f é
d(a-1)=b(c-1).
Interpretações/observações úteis para a prova:
  • Se a=1 e c=1 essa igualdade vira 0=0 e qualquer b,d funcionam — isso corresponde ao caso em que as duas funções são apenas translações f(x)=x+b e g(x)=x+d, que sempre comutam.
  • Se a=1 e c\neq1, a igualdade exige b=0; isto é, f(x)=x (identidade mais possível translação nula) para que comute com g.
  • Se c=1 e a\neq1, a igualdade exige d=0.
  • Se nenhum dos coeficientes multiplicativos é 1, então a relação liga b e d por d=\dfrac{b(c-1)}{a-1}.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar: escolha a=2, b=3, c=4. Pela fórmula, precisamos de
d(2-1)=3(4-1)\implies d=9.
Verificando: f(g(x))=2(4x+9)+3=8x+18+3=8x+21 e g(f(x))=4(2x+3)+9=8x+12+9=8x+21. Batem, ótimo!

Resposta

d(a-1)=b(c-1)

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