Calcule fluxo \Φ(S)=\int_{S} \vec{A} \cdot d \vec{a} atrvés de hemisfere norte \ϑ \in[0, \pi / 2] para um campo vetrorial \vec{A}=A(\ϑ) \hat{z} para
  • A(\ϑ)=A \cos (\ϑ)

Passo 1

Resumindo: queremos calcular o fluxo
\Phi(S)=\int_{S}\vec A\cdot d\vec a
através do hemisfério norte de raio R, em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com \theta\in[0,\pi/2] e \varphi\in[0,2\pi]. O conteúdo é cálculo de fluxo de um campo vetorial usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Parametrizamos a superfície S por r=R, \theta\in[0,\pi/2], \varphi\in[0,2\pi]. O vetor área é
d\vec a=\hat r\,R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

O campo dado é
\vec A = A(\theta)\,\hat z \quad\text{com}\quad A(\theta)=A\cos\theta.
Em esféricas vale \hat z\cdot\hat r=\cos\theta. Então o integrando fica
\vec A\cdot d\vec a = A\cos\theta\;(\hat z\cdot\hat r)\;R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi = A\cos\theta\,( \cos\theta )\,R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi = A\,R^2\cos^2\theta\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.

Passo 4

Montamos o fluxo como
\Phi =\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi/2} A\,R^2\cos^2\theta\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
O fator A\,R^2 sai da integral em \theta e \varphi.

Passo 5

Primeiro integramos em \varphi:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi.
Depois em \theta fazemos u=\cos\theta\Rightarrow du=-\sin\theta\,d\theta, limites de \theta=0\to u=1 e \theta=\pi/2\to u=0:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\theta\,\sin\theta\,d\theta =\int_{u=1}^{0}u^2(-du) =\int_{0}^{1}u^2\,du =\bigl[\tfrac{u^3}{3}\bigr]_{0}^{1} =\tfrac13.
Logo
\Phi = A\,R^2\,(2\pi)\,\tfrac13 =\tfrac{2\pi}{3}\,A\,R^2.

Resposta

\Phi(S)=\frac{2\pi}{3}\,A\,R^2.

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