Exercício 4. Em função da participação dos alunos de uma determinada disciplina nas aulas, suspeita-se que a Turma X apresenta menor média final em comparação com a Turma Y. Os dados seguem abaixo. Admitindo que se ajustam à distribuição normal, à que conclusão chegar? Utilize alpha=0.01.
##
## X: 50 63 57 92 76 53 76 96 29 78
## Y: 79 93 80 84 90 95 83 85 96 88 90 88 96 92 86
##
## Valor calculado: -3.2099 Valor tabelado: 2.8214 (Na tabela) p-value: 0.004745523

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipóteses para comparar duas médias amostrais de tamanhos nX=10 e nY=15, sob a suposição de normalidade e variâncias desconhecidas (e possivelmente diferentes). Queremos verificar, a nível de significância alpha=0,01, se a média da Turma X é menor que a da Turma Y. Vamos usar o teste t de duas amostras com variâncias heterogêneas (Welch).

Passo 2

Definimos as hipóteses:
H0:muX >= muY
H1:muX < muY
Como H1 é unilateral à esquerda, nossa região crítica será
t <= -,t1-alpha,nu,
onde t é a estatística amostral e nu os graus de liberdade de Welch.

Passo 3

Calculamos as estatísticas amostrais:
bar X = 50+63+57+92+76+53+76+96+29+7810=67,
bar Y = 79+93+80+84+90+95+83+85+96+88+90+88+96+92+8615approx88,33
As variâncias amostrais são
sX^2approx421,56, sY^2approx30,24

Passo 4

A estatística t de Welch é
t=bar X - bar YraizdfracsX^2nX+dfracsY^2nY =67-88,33raizdfrac421,5610+dfrac30,2415 approx -3,2099

Passo 5

Os graus de liberdade aproximados de Welch são
nu =l(tfracsX^2nX+tfracsY^2nYr)^2 dfrac(sX^2/nX)^2nX-1+dfrac(sY^2/nY)^2nY-1 approx9,9
Para alpha=0,01 em teste unilateral à esquerda e nuapprox9,9, o valor crítico é
-t1-alpha,nuapprox-2,8214

Passo 6

Como
trm calc=-3,2099 < -2,8214
ou, equivalentemente, o p-value=0,0047455<0,01, rejeitamos H0.

Resposta

Rejeita-se H0. Há evidência estatística, a 1 % de nível, de que a média da Turma X é menor que a da Turma Y.

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