As medidas a seguir foram registradas para o tempo de secagem, em horas, de certa marca de tinta látex:
3,4
2,5
4,8
2,9
3,6
2,8
3,3
5,6
3,7
2,8
4,4
4,0
5,2
3,0
4,8
Assumindo que as medidas representam uma amostra aleatória de uma população normal, determine o intervalo de confiança de
para o tempo de secagem.
| 3,4 | 2,5 | 4,8 | 2,9 | 3,6 |
| 2,8 | 3,3 | 5,6 | 3,7 | 2,8 |
| 4,4 | 4,0 | 5,2 | 3,0 | 4,8 |
Passo 1
O enunciado dá as seguintes medidas (peguei estes valores diretamente da tabela do enunciado):
Pede-se o intervalo de confiança de para o tempo médio de secagem da tinta, assumindo que esses valores são uma amostra aleatória de uma população normal.
Informações relevantes extraídas:
Pede-se o intervalo de confiança de
Informações relevantes extraídas:
- Tamanho da amostra:
. - Deseja-se o intervalo de confiança de nível
para a média populacional , com desvio padrão populacional desconhecido.
Passo 2
Vamos calcular a média amostral
. A média amostral é a soma das observações dividida pelo número de observações; a fórmula é
onde
são as observações e
é o tamanho da amostra. Aqui calculei a soma das observações e encontrei
. Portanto
Interpretação didática:
é nosso melhor palpite para a média desconhecida
com base na amostra; mais observações reduzirão a variação desse palpite.
Passo 3
Agora precisamos do desvio-padrão amostral
. A fórmula da variância amostral (não viesada) é
Uma forma prática é usar a identidade
Aqui calculei
(soma dos quadrados dos dados; informação obtida ao elevar cada dado ao quadrado e somar). Usando
temos
. Então
e o desvio-padrão amostral é
Explicando:
mede a dispersão dos tempos de secagem na amostra; como a variância amostral usa
no denominador, ela corrige o viés na estimação da variância populacional.
Passo 4
Para construir o intervalo de confiança para
quando a variância populacional é desconhecida e a amostra vem de uma população normal, usamos a distribuição
de Student. A fórmula do intervalo é
onde
é o quantil da distribuição
com
graus de liberdade, e
é o nível de significância (
nível de confiança). Aqui o nível de confiança é
, então
e
. Os graus de liberdade são
. Consultando uma tabela
ou calculadora obtém-se
Motivo: usamos
(e não a normal) porque
estimado da amostra introduz incerteza extras que a distribuição
modela.
Passo 5
Calculemos a margem de erro
:
Substituindo os valores numéricos (usei
,
,
):
Interpretação: o intervalo de confiança será a média amostral mais/menos essa margem; esse
representa o quanto a média amostral pode variar para ainda manter 99% de confiança de conter a verdadeira média.
Passo 6
Agora montamos o intervalo:
Arredondando de forma conveniente (por exemplo, três casas decimais) obtemos o intervalo de confiança de
para o tempo médio de secagem:
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas chegamos lá — esse intervalo é o que você deve reportar na prova.