As medidas a seguir foram registradas para o tempo de secagem, em horas, de certa marca de tinta látex:
3,4 2,5 4,8 2,9 3,6
2,8 3,3 5,6 3,7 2,8
4,4 4,0 5,2 3,0 4,8
Assumindo que as medidas representam uma amostra aleatória de uma população normal, determine o intervalo de confiança de 99 % para o tempo de secagem.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes medidas (peguei estes valores diretamente da tabela do enunciado):
3,4,\;2,5,\;4,8,\;2,9,\;3,6,\;2,8,\;3,3,\;5,6,\;3,7,\;2,8,\;4,4,\;4,0,\;5,2,\;3,0,\;4,8.
Pede-se o intervalo de confiança de 99\% para o tempo médio de secagem da tinta, assumindo que esses valores são uma amostra aleatória de uma população normal.
Informações relevantes extraídas:
  • Tamanho da amostra: n=15.
  • Deseja-se o intervalo de confiança de nível 99\% para a média populacional \mu, com desvio padrão populacional desconhecido.

Passo 2

Vamos calcular a média amostral \bar{x}. A média amostral é a soma das observações dividida pelo número de observações; a fórmula é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as observações e n é o tamanho da amostra. Aqui calculei a soma das observações e encontrei \sum_{i=1}^{15} x_i = 56,8. Portanto
\bar{x}=\frac{56,8}{15}=3,786\overline{6}\approx 3,787.
Interpretação didática: \bar{x} é nosso melhor palpite para a média desconhecida \mu com base na amostra; mais observações reduzirão a variação desse palpite.

Passo 3

Agora precisamos do desvio-padrão amostral s. A fórmula da variância amostral (não viesada) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
Uma forma prática é usar a identidade
s^2=\frac{1}{n-1}\Big(\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2\Big).
Aqui calculei \sum_{i=1}^{15} x_i^2 = 228,28 (soma dos quadrados dos dados; informação obtida ao elevar cada dado ao quadrado e somar). Usando \bar{x}=56,8/15 temos n\bar{x}^2=\dfrac{56,8^2}{15}=215,082\overline{6}. Então
s^2=\frac{1}{15-1}\big(228,28-215,082\overline{6}\big)=\frac{13,197333\ldots}{14}=0,942666\ldots
e o desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{0,942666\ldots}\approx 0,971.
Explicando: s mede a dispersão dos tempos de secagem na amostra; como a variância amostral usa n-1 no denominador, ela corrige o viés na estimação da variância populacional.

Passo 4

Para construir o intervalo de confiança para \mu quando a variância populacional é desconhecida e a amostra vem de uma população normal, usamos a distribuição t de Student. A fórmula do intervalo é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade, e \alpha é o nível de significância ( \alpha=1- nível de confiança). Aqui o nível de confiança é 99\%, então \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005. Os graus de liberdade são n-1=14. Consultando uma tabela t ou calculadora obtém-se
t_{0,995,\;14}=t_{1-0,005,\;14}\approx 2,977.
Motivo: usamos t (e não a normal) porque s estimado da amostra introduz incerteza extras que a distribuição t modela.

Passo 5

Calculemos a margem de erro E:
E = t_{0,995,\;14}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Substituindo os valores numéricos (usei s\approx 0,971, t\approx 2,977, n=15):
\sqrt{n}=\sqrt{15}\approx 3,873,
t\cdot s \approx 2,977\cdot 0,971 \approx 2,8906,
E \approx \frac{2,8906}{3,873}\approx 0,7466.
Interpretação: o intervalo de confiança será a média amostral mais/menos essa margem; esse E representa o quanto a média amostral pode variar para ainda manter 99% de confiança de conter a verdadeira média.

Passo 6

Agora montamos o intervalo:
\text{limite inferior}=\bar{x}-E\approx 3,7867-0,7466\approx 3,0401,
\text{limite superior}=\bar{x}+E\approx 3,7867+0,7466\approx 4,5333.
Arredondando de forma conveniente (por exemplo, três casas decimais) obtemos o intervalo de confiança de 99\% para o tempo médio de secagem:
(3,040\;;\;4,533).
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas chegamos lá — esse intervalo é o que você deve reportar na prova.

Resposta

\displaystyle (3,040\;;\;4,533)

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