Exercício 9. O número de partículas alfa emitidas por uma fonte radioativa segue uma distribuição de Poisson com uma taxa média de 2,5 partículas por minuto. Qual a probabilidade de que em um intervalo de 2 minutos, exatamente 4 partículas sejam emitidas?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual a probabilidade de que em um intervalo de 2 minutos exatamente 4 partículas alfa sejam emitidas?”
Informações dadas:
Informações dadas:
- A emissão segue uma distribuição de Poisson com taxa média de
partículas por minuto. - Queremos a probabilidade de ocorrer exatamente
partículas no intervalo de minutos.
Passo 2
Vamos transformar a informação da taxa por minuto para a média esperada no intervalo de
minutos. Se a taxa é de
partículas por minuto, então a média (parâmetro)
para
minutos é:
Explicação rápida:
representa o número médio de eventos no intervalo considerado. Multiplicamos a taxa por unidade de tempo pelo comprimento do intervalo para obter a média nesse intervalo.
Passo 3
Agora apresento a fórmula da distribuição de Poisson e explico cada símbolo. Para uma variável aleatória
que segue Poisson com parâmetro
, a probabilidade de observar exatamente
ocorrências é dada por
Onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos; -
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente ); -
é a média esperada de eventos no intervalo (aqui ); -
é o número de eventos que queremos (aqui ); -
(fatorial de ) é o produto . Por exemplo, .
Passo 4
Aplicando a fórmula com
e
. Primeiro calculamos quantidades parciais:
Agora a expressão exata fica
Passo 5
Vamos simplificar a fração
. Fazendo a divisão:
Portanto
Para obter um valor numérico precisamos do valor de
. Uma aproximação comum é
Multiplicando:
Passo 6
Agora fazemos a multiplicação (mostro de forma que dê para conferir numa prova com calculadora ou aproximando passo a passo):
Arredondando para quatro casas decimais (uma precisão suficiente para a maioria das provas):
Interpretação: isso significa cerca de
de chance de ocorrerem exatamente
partículas em
minutos.