Exercício 9. O número de partículas alfa emitidas por uma fonte radioativa segue uma distribuição de Poisson com uma taxa média de 2,5 partículas por minuto. Qual a probabilidade de que em um intervalo de 2 minutos, exatamente 4 partículas sejam emitidas?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual a probabilidade de que em um intervalo de 2 minutos exatamente 4 partículas alfa sejam emitidas?”
Informações dadas:
  • A emissão segue uma distribuição de Poisson com taxa média de 2,5 partículas por minuto.
  • Queremos a probabilidade de ocorrer exatamente 4 partículas no intervalo de 2 minutos.

Passo 2

Vamos transformar a informação da taxa por minuto para a média esperada no intervalo de 2 minutos. Se a taxa é de 2,5 partículas por minuto, então a média (parâmetro) \lambda para 2 minutos é:
\lambda = 2{,}5 \times 2 = 5.
Explicação rápida: \lambda representa o número médio de eventos no intervalo considerado. Multiplicamos a taxa por unidade de tempo pelo comprimento do intervalo para obter a média nesse intervalo.

Passo 3

Agora apresento a fórmula da distribuição de Poisson e explico cada símbolo. Para uma variável aleatória X que segue Poisson com parâmetro \lambda, a probabilidade de observar exatamente k ocorrências é dada por
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Onde:
  • P(X=k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos;
  • e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2{,}71828);
  • \lambda é a média esperada de eventos no intervalo (aqui \lambda=5);
  • k é o número de eventos que queremos (aqui k=4);
  • k! (fatorial de k) é o produto k\times(k-1)\times\cdots\times1. Por exemplo, 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1=24.

Passo 4

Aplicando a fórmula com \lambda=5 e k=4. Primeiro calculamos quantidades parciais:
4! = 24,
\lambda^{4} = 5^{4} = 625.
Agora a expressão exata fica
P(X=4)=e^{-5}\frac{625}{24}.

Passo 5

Vamos simplificar a fração \dfrac{625}{24}. Fazendo a divisão:
\frac{625}{24} \approx 26{,}041666\ldots
Portanto
P(X=4) \approx e^{-5}\times 26{,}041666\ldots
Para obter um valor numérico precisamos do valor de e^{-5}. Uma aproximação comum é
e^{-5} \approx 0{,}006737947.
Multiplicando:
P(X=4) \approx 0{,}006737947 \times 26{,}041666\ldots

Passo 6

Agora fazemos a multiplicação (mostro de forma que dê para conferir numa prova com calculadora ou aproximando passo a passo):
0{,}006737947 \times 26{,}041666\ldots \approx 0{,}175467\ldots
Arredondando para quatro casas decimais (uma precisão suficiente para a maioria das provas):
P(X=4) \approx 0{,}1755.
Interpretação: isso significa cerca de 17{,}55\% de chance de ocorrerem exatamente 4 partículas em 2 minutos.

Resposta

P(X=4)=e^{-5}\dfrac{5^{4}}{4!}\approx 0{,}1755

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