Exercício 2.3 Uma gota de óleo carregada positivamente, de 5 mg de massa, está em uma região de campo elétrico uniforme, direcionada para cima, de magnitude 1200
. Além de seu peso e da força elétrica, a carga sente uma força resistiva
proporcional à sua velocidade vetorial
, de modo que depois de um tempo ela se move para cima a uma velocidade constante
. Se invertermos a direção do campo elétrico, a queda se move para baixo a uma velocidade constante
. Use essas informações para determinar a carga na entrega.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma gota de óleo carregada positivamente com massa de 5 mg que está se movendo em um campo elétrico uniforme. Esse campo tem uma força para cima com magnitude de 1200 N/C. Além do peso da gota e da força elétrica, ela também sente uma força resistiva que depende da sua velocidade. Quando o campo está para cima, a gota atinge uma velocidade constante de 0,75 m/s para cima. Se invertermos a direção do campo, a velocidade constante passa para 1,53 m/s para baixo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a carga dessa gota de óleo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de forças em equilíbrio e resistiva proporcional à velocidade. Precisaremos aplicar as leis de Newton para movimentos com velocidade constante, além de manipular algumas equações para encontrar a carga elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a massa da gota de óleo de miligramas para quilogramas para trabalhar com unidades padrão. Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular o peso da gota, que é a força gravitacional atuando sobre ela. A fórmula para o peso é:
Onde $ g = 9,81 , m/s^2 $. Então:
Passo 4
Em seguida, vamos considerar a força elétrica que atua na gota. A força elétrica é dada por:
Onde $ q $ é a carga elétrica que queremos encontrar e $ E $ é o campo elétrico.
Passo 5
Além disso, a gota sente uma força resistiva proporcional à sua velocidade:
Como estamos considerando movimentos com velocidade constante, a soma das forças deve ser zero (equilíbrio de forças).
Passo 6
Vamos primeiro analisar quando o campo elétrico está direcionado para cima. As forças atuando são:
- Peso ($ P $): para baixo.
- Força elétrica ($ F_e $): para cima.
- Força resistiva ($ F_r $): para baixo (porque a gota está se movendo para cima).
Aplicando o equilíbrio:
Substituindo as fórmulas:
Onde $ v_1 = 0,75 , m/s $.
Passo 7
Agora, vamos analisar quando o campo elétrico é invertido, ou seja, direcionado para baixo. As forças atuando são:
- Peso ($ P $): para baixo.
- Força elétrica ($ F_e $): para baixo (já que a carga é positiva e o campo está para baixo).
- Força resistiva ($ F_r $): para cima (porque a gota está se movendo para baixo).
Aplicando o equilíbrio:
Substituindo as fórmulas:
Onde $ v_2 = 1,53 , m/s $.
Passo 8
Agora temos um sistema de duas equações:
- $ m \times g + k \times v_1 = q \times E $
- $ m \times g - k \times v_2 = -q \times E $
Vamos somar as duas equações para eliminar $ q $:
Simplificando:
Dessa forma, podemos resolver para $ k $:
Substituindo os valores:
Passo 9
Agora que temos $ k $, podemos substituir em uma das equações para encontrar $ q $. Vamos usar a primeira:
Rearranjando para $ q $:
Substituindo os valores:
Resposta
A carga na gota de óleo é aproximadamente $ 1,28 \times 10^{-7} , C $.