Exercício 2.3 Uma gota de óleo carregada positivamente, de 5 mg de massa, está em uma região de campo elétrico uniforme, direcionada para cima, de magnitude 1200 N / C. Além de seu peso e da força elétrica, a carga sente uma força resistiva F=-k v proporcional à sua velocidade vetorial v, de modo que depois de um tempo ela se move para cima a uma velocidade constante v1=0,75 m / s. Se invertermos a direção do campo elétrico, a queda se move para baixo a uma velocidade constante v2=1,53 m / s. Use essas informações para determinar a carga na entrega.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma gota de óleo carregada positivamente com massa de 5 mg que está se movendo em um campo elétrico uniforme. Esse campo tem uma força para cima com magnitude de 1200 N/C. Além do peso da gota e da força elétrica, ela também sente uma força resistiva que depende da sua velocidade. Quando o campo está para cima, a gota atinge uma velocidade constante de 0,75 m/s para cima. Se invertermos a direção do campo, a velocidade constante passa para 1,53 m/s para baixo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a carga dessa gota de óleo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de forças em equilíbrio e resistiva proporcional à velocidade. Precisaremos aplicar as leis de Newton para movimentos com velocidade constante, além de manipular algumas equações para encontrar a carga elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa da gota de óleo de miligramas para quilogramas para trabalhar com unidades padrão. Sabemos que:
m = 5 , mg = 5 times 10^-3 , g = 5 times 10^-6 , kg

Passo 3

Agora, vamos calcular o peso da gota, que é a força gravitacional atuando sobre ela. A fórmula para o peso é:
P = m times g
Onde $ g = 9,81 , m/s^2 $. Então:
g = 9,81 , m/s^2

Passo 4

Em seguida, vamos considerar a força elétrica que atua na gota. A força elétrica é dada por:
Fe = q times E
Onde $ q $ é a carga elétrica que queremos encontrar e $ E $ é o campo elétrico.

Passo 5

Além disso, a gota sente uma força resistiva proporcional à sua velocidade:
Fr = -k times v
Como estamos considerando movimentos com velocidade constante, a soma das forças deve ser zero (equilíbrio de forças).

Passo 6

Vamos primeiro analisar quando o campo elétrico está direcionado para cima. As forças atuando são:
  • Peso ($ P $): para baixo.
  • Força elétrica ($ F_e $): para cima.
  • Força resistiva ($ F_r $): para baixo (porque a gota está se movendo para cima).
Aplicando o equilíbrio:
P
Substituindo as fórmulas:
Fe
Onde $ v_1 = 0,75 , m/s $.

Passo 7

Agora, vamos analisar quando o campo elétrico é invertido, ou seja, direcionado para baixo. As forças atuando são:
  • Peso ($ P $): para baixo.
  • Força elétrica ($ F_e $): para baixo (já que a carga é positiva e o campo está para baixo).
  • Força resistiva ($ F_r $): para cima (porque a gota está se movendo para baixo).
Aplicando o equilíbrio:
P
Substituindo as fórmulas:
Fe
Onde $ v_2 = 1,53 , m/s $.

Passo 8

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. $ m \times g + k \times v_1 = q \times E $
  2. $ m \times g - k \times v_2 = -q \times E $
Vamos somar as duas equações para eliminar $ q $:
m times g + k times v1 = q times E
Simplificando:
m times g - k times v2 = -q times E
Dessa forma, podemos resolver para $ k $:
q
Substituindo os valores:
(m times g + k times v1) + (m times g - k times v2) = 0

Passo 9

Agora que temos $ k $, podemos substituir em uma das equações para encontrar $ q $. Vamos usar a primeira:
k
Rearranjando para $ q $:
q
Substituindo os valores:
m times g + k times v1 = q times E
q

Resposta

A carga na gota de óleo é aproximadamente $ 1,28 \times 10^{-7} , C $.

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