Mostre que, para gases ideais, a relação entre as capacidades térmicas molar à pressão constante ( C_{P} ) e à volume constante ( C_{V} ) é dada por C_{P}=C_{V}+R, onde R é a constante universal dos gases ideais. Discuta a principal consequência prática desta relação.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, no caso de um gás ideal, que as capacidades térmicas molares à pressão constante e a volume constante satisfazem
C_{P} \;=\; C_{V} \;+\; R
e discutir a consequência prática disso. Para isso, vamos usar a Primeira Lei da Termodinâmica e a definição de entalpia.

Passo 2

Definimos as capacidades térmicas molares como a quantidade de calor por mol e por grau de variação de temperatura em cada processo:
– Em processo isocórico (volume constante) temos
\delta Q_{V} \;=\; dU
e por definição
\delta Q_{V} \;=\; C_{V}\,dT.
Como em isocórico dV=0, não há trabalho de expansão, então
dU \;=\; C_{V}\,dT.

Passo 3

Em processo isobárico (pressão constante) é mais conveniente usar a entalpia
H \;=\; U + pV.
O calor trocado a pressão constante satisfaz
\delta Q_{p} \;=\; dH.
Para um gás ideal, pV = RT (por mol), logo
d(pV) \;=\; d(RT) \;=\; R\,dT.

Passo 4

Agora escrevemos
dH \;=\; dU \;+\; d(pV) \;=\; C_{V}\,dT \;+\; R\,dT \;=\;(C_{V}+R)\,dT.
Mas por definição \delta Q_{p}=C_{P}\,dT. Assim, comparando coeficientes de dT, obtemos a relação de Mayer para o gás ideal:
C_{P} \;=\; C_{V} \;+\; R.

Passo 5

A principal consequência prática é que, em aquecimento a pressão constante, parte do calor recebido não se transforma em aumento de energia interna, mas faz trabalho de expansão p\,\Delta V. Por isso C_{P} é sempre maior que C_{V} e sua diferença é exatamente R, independente da natureza do gás. Essa relação é fundamental para:
– determinar o expoente adiabático \gamma = C_{P}/C_{V}, que governa processos de compressão e expansão rápida;
– calcular a velocidade do som em gases, pois c = \sqrt{\gamma R T/M};
– projetar ciclos termodinâmicos (motores, compressores), onde se alternam processos isocóricos, isobáricos e adiabáticos.

Resposta

C_{P} = C_{V} + R
A principal consequência prática é que, em processo a pressão constante, parte do calor vai para o trabalho de expansão, elevando C_{P} em exatamente R em relação a C_{V}, o que afeta diretamente o expoente adiabático e o desempenho de ciclos termodinâmicos.

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