Mostre que, para gases ideais, a relação entre as capacidades térmicas molar à pressão constante (
) e à volume constante (
) é dada por
, onde
é a constante universal dos gases ideais. Discuta a principal consequência prática desta relação.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, no caso de um gás ideal, que as capacidades térmicas molares à pressão constante e a volume constante satisfazem
e discutir a consequência prática disso. Para isso, vamos usar a Primeira Lei da Termodinâmica e a definição de entalpia.
Passo 2
Definimos as capacidades térmicas molares como a quantidade de calor por mol e por grau de variação de temperatura em cada processo:
– Em processo isocórico (volume constante) temos
– Em processo isocórico (volume constante) temos
e por definição
Como em isocórico
, não há trabalho de expansão, então
Passo 3
Em processo isobárico (pressão constante) é mais conveniente usar a entalpia
O calor trocado a pressão constante satisfaz
Para um gás ideal,
(por mol), logo
Passo 4
Agora escrevemos
Mas por definição
. Assim, comparando coeficientes de
, obtemos a relação de Mayer para o gás ideal:
Passo 5
A principal consequência prática é que, em aquecimento a pressão constante, parte do calor recebido não se transforma em aumento de energia interna, mas faz trabalho de expansão
. Por isso
é sempre maior que
e sua diferença é exatamente
, independente da natureza do gás. Essa relação é fundamental para:
– determinar o expoente adiabático , que governa processos de compressão e expansão rápida;
– calcular a velocidade do som em gases, pois ;
– projetar ciclos termodinâmicos (motores, compressores), onde se alternam processos isocóricos, isobáricos e adiabáticos.
– determinar o expoente adiabático
– calcular a velocidade do som em gases, pois
– projetar ciclos termodinâmicos (motores, compressores), onde se alternam processos isocóricos, isobáricos e adiabáticos.
Resposta
A principal consequência prática é que, em processo a pressão constante, parte do calor vai para o trabalho de expansão, elevando
em exatamente
em relação a
, o que afeta diretamente o expoente adiabático e o desempenho de ciclos termodinâmicos.