Exercício 3. Um grupo de pesquisa de mercado constatou que 25% dos 52 fregueses recentemente entrevistados num grande shopping center suburbano residem a mais de 15 milhas do local.
(a) Construa um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira percentagem de fregueses que moram a mais de 15 milhas do shopping center

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde um grupo de pesquisa descobriu que 25% dos 52 fregueses entrevistados vivem a mais de 15 milhas do shopping. Nosso objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 95% para descobrir qual é a verdadeira porcentagem de fregueses que moram mais de 15 milhas do shopping. Para isso, vamos usar conceitos de estatística sobre intervalos de confiança para proporções.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a proporção amostral. Aqui, 25% dos 52 fregueses vivem a mais de 15 milhas. Em forma decimal, isso é $ \hat{p} = 0,25 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão mede a variabilidade da proporção amostral em relação à verdadeira proporção da população. A fórmula é:
Erro Padrão = raizp(1 - p)n ã
Onde $ \hat{p} $ é a proporção amostral e $ n $ é o tamanho da amostra.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
Erro Padrão = raiz0,25(1 - 0,25)52 = raiz0,25 times 0,7552 = raiz0,187552 approx raiz0,003605 approx 0,0600 ã

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar o valor crítico para um intervalo de confiança de 95%. Esse valor é baseado na distribuição normal e, para 95% de confiança, o valor z é aproximadamente 1,96.

Passo 6

Agora, calculamos a margem de erro multiplicando o erro padrão pelo valor z:
Mar>=m de Erro = z times Erro Padrão = 1,96 times 0,0600 approx 0,1176 ã

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da proporção amostral:
Intervalo de Confiança = p pm Mar>=m de Erro = 0,25 pm 0,1176 ç
Isso resulta em:
0,25 - 0,1176 = 0,1324 e 0,25 + 0,1176 = 0,3676

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a verdadeira porcentagem de fregueses que moram a mais de 15 milhas do shopping center é de aproximadamente 13,24% a 36,76%.

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