Seja
uma variável aleatória com fdp dada por
, para
. Pede-se:
Obter E
Obter E
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma variável aleatória $ X $ com a função de densidade de probabilidade (fdp) $ f_X(x) = c x^{2} $ definida no intervalo
. O que queremos descobrir é o valor esperado de $ X $, ou seja, $ \mathbb{E}[X] $. Para isso, vamos precisar encontrar a constante $ c $ que torna $ f_X(x) $ uma fdp válida e depois usar essa constante para calcular $ \mathbb{E}[X] $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a constante $ c $. Sabemos que a integral da função de densidade de probabilidade sobre todo o espaço amostral deve ser igual a 1. Então, temos:
Passo 3
Vamos calcular essa integral:
Então, temos:
Passo 4
Agora que sabemos que $ c = \frac{3}{2} $, podemos calcular o valor esperado $ \mathbb{E}[X] $. A definição de valor esperado é:
Calculando a integral:
Portanto: