Seja X uma variável aleatória com fdp dada por fX(x)=c x^2, para X=(-1,1). Pede-se:
Obter E X

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma variável aleatória $ X $ com a função de densidade de probabilidade (fdp) $ f_X(x) = c x^{2} $ definida no intervalo X . O que queremos descobrir é o valor esperado de $ X $, ou seja, $ \mathbb{E}[X] $. Para isso, vamos precisar encontrar a constante $ c $ que torna $ f_X(x) $ uma fdp válida e depois usar essa constante para calcular $ \mathbb{E}[X] $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a constante $ c $. Sabemos que a integral da função de densidade de probabilidade sobre todo o espaço amostral deve ser igual a 1. Então, temos:
c

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
integral-1^1 x^2 , dx = [ 13 x^3 ]-1^1 = 13(1)^3 - 13(-1)^3 = 13 - ( -13 ) = 23
Então, temos:
c cdot 23 = 1 implies c = 32

Passo 4

Agora que sabemos que $ c = \frac{3}{2} $, podemos calcular o valor esperado $ \mathbb{E}[X] $. A definição de valor esperado é:
c = 32
Calculando a integral:
E[X]
Portanto:
E[X] = integral-1^1 x cdot fX(x) , dx = integral-1^1 x cdot ( 32 x^2 ) , dx = 32 integral-1^1 x^3 , dx

Resposta

E[X] = 0

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