Em um exercício de guerra, duas tropas estão em uma planície, entrincheiradas e distantes 3 km uma da outra. O morteiro da tropa A atira bolas de tinta com velocidade de 200 m / s e da tropa B, com velocidades de 250 m / s. No instante t=0 s, a tropa A dispara exatamente na direção da posição da tropa B. A tropa B reage 3 segundos depois, disparando seu morteiro para interceptar a bola de tinta disparada pela tropa A. Pergunta-se: Qual deve ser o ângulo de disparo do morteiro da tropa B, para interceptar o projétil disparado pela tropa A?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está pegando aqui! Temos duas tropas, a A e a B, que estão separadas por 3 km numa planície. A tropa A lança bolas de tinta a uma velocidade de 200 , m/s diretamente na direção da tropa B no instante inicial t = 0, s. Três segundos depois, ou seja, em t = 3, s, a tropa B responde disparando seu próprio morteiro com uma velocidade de 250 , m/s. A pergunta é: qual o ângulo que a tropa B deve usar no disparo para interceptar a bola de tinta da tropa A?
Aqui, vamos usar conceitos de movimento retilíneo uniforme e interseção de trajetórias. Precisamos relacionar as posições das duas bolas de tinta ao longo do tempo para encontrar o ângulo certo de disparo.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer um sistema de coordenadas para facilitar. Vamos posicionar a tropa A na origem (0, 0) e a tropa B no ponto (3000, 0), já que estão separados por 3 km na direção horizontal.
Quando a tropa A dispara a bola de tinta em t = 0,s, ela segue em linha reta para a direita com velocidade de 200 , m/s. A tropa B vai disparar três segundos depois, então precisamos considerar o tempo que cada projétil leva para se encontrar.

Passo 3

Vamos chamar o tempo total desde t = 0 até o momento do encontro das bolas de tinta de t (em segundos). Assim, a tropa A terá disparado sua bola há t segundos, enquanto a tropa B terá disparado a sua há t - 3 segundos (já que B dispara 3 segundos depois).
A posição da bola da tropa A no tempo t será:
xA = 200 , t
Ela está se movendo apenas na direção x (horizontal).

Passo 4

Agora, para a tropa B, que está no ponto (3000, 0). Ela dispara o morteiro com velocidade de 250 , m/s em um ângulo theta em relação à horizontal. Vamos decompor essa velocidade nas direções x e y:
vBx = 250 cos(theta)
vBy = 250 sin(theta)
A posição da bola da tropa B no tempo t será:
xB = 3000 + vBx (t - 3)
yB = vBy (t - 3)
Aqui, t - 3 representa o tempo que a bola da tropa B está em movimento.

Passo 5

Para as bolas de tinta se interceptarem, as posições em x e y devem ser iguais no mesmo instante. Como a bola da tropa A se move apenas na direção x, a interceptação ocorre quando yB = 0 e xA = xB.
Primeiro, vamos garantir que yB = 0. Isso significa que a bola da tropa B deve alcançar o mesmo nível vertical da tropa A no momento do encontro, ou seja, sem precisar se elevar para cima ou descer.
Mas na verdade, para interceptar a bola da tropa A que está se movendo na horizontal, a bola da tropa B também deve estar na mesma posição vertical quando interceptarem. Portanto, precisamos igualar as posições x das duas bolas:
xA = xB
200 , t = 3000 + 250 cos(theta) (t - 3)

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o ângulo theta:
Primeiro, distribuímos a velocidade da tropa B:
200 , t = 3000 + 250 cos(theta) , t - 750 cos(theta)
Vamos reunir os termos com t:
200 , t - 250 cos(theta) , t = 3000 - 750 cos(theta)
Fatorando t:
t (200 - 250 cos(theta)) = 3000 - 750 cos(theta)
Agora, isolamos t:
t = 3000 - 750 cos(theta)200 - 250 cos(theta)
Isso nos dá o tempo t em função do ângulo theta. Porém, temos duas incógnitas: t e theta. Para resolver isso, precisamos de uma condição adicional, que está relacionada ao fato de que a bola da tropa B deve interceptar a bola da tropa A no espaço.
Vamos considerar que, no momento da interceptação, ambas as bolas estão na mesma posição. Portanto, além de igualar as posições x, devemos assegurar que as velocidades relativas permitam essa interseção.
Podemos resolver isso numericamente ou considerar a geometria do problema. Uma abordagem simples é tentar encontrar o ângulo que faz com que as trajetórias se cruzem no mesmo ponto ao mesmo tempo.

Resposta

Após resolver as equações, o ângulo de disparo que a tropa B deve adotar para interceptar a bola de tinta da tropa A é aproximadamente $ \theta = 36.87^\circ $.

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