Em um exercício de guerra, duas tropas estão em uma planície, entrincheiradas e distantes 3 km uma da outra. O morteiro da tropa A atira bolas de tinta com velocidade de
e da tropa B, com velocidades de
. No instante
, a tropa A dispara exatamente na direção da posição da tropa B. A tropa B reage 3 segundos depois, disparando seu morteiro para interceptar a bola de tinta disparada pela tropa A. Pergunta-se: Qual deve ser o ângulo de disparo do morteiro da tropa B, para interceptar o projétil disparado pela tropa A?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está pegando aqui! Temos duas tropas, a A e a B, que estão separadas por 3 km numa planície. A tropa A lança bolas de tinta a uma velocidade de
diretamente na direção da tropa B no instante inicial
. Três segundos depois, ou seja, em
, a tropa B responde disparando seu próprio morteiro com uma velocidade de
. A pergunta é: qual o ângulo que a tropa B deve usar no disparo para interceptar a bola de tinta da tropa A?
Aqui, vamos usar conceitos de movimento retilíneo uniforme e interseção de trajetórias. Precisamos relacionar as posições das duas bolas de tinta ao longo do tempo para encontrar o ângulo certo de disparo.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer um sistema de coordenadas para facilitar. Vamos posicionar a tropa A na origem
e a tropa B no ponto
, já que estão separados por 3 km na direção horizontal.
Quando a tropa A dispara a bola de tinta em
, ela segue em linha reta para a direita com velocidade de
. A tropa B vai disparar três segundos depois, então precisamos considerar o tempo que cada projétil leva para se encontrar.
Passo 3
Vamos chamar o tempo total desde
até o momento do encontro das bolas de tinta de
(em segundos). Assim, a tropa A terá disparado sua bola há
segundos, enquanto a tropa B terá disparado a sua há
segundos (já que B dispara 3 segundos depois).
A posição da bola da tropa A no tempo
será:
Ela está se movendo apenas na direção
(horizontal).
Passo 4
Agora, para a tropa B, que está no ponto
. Ela dispara o morteiro com velocidade de
em um ângulo
em relação à horizontal. Vamos decompor essa velocidade nas direções
e
:
A posição da bola da tropa B no tempo
será:
Aqui,
representa o tempo que a bola da tropa B está em movimento.
Passo 5
Para as bolas de tinta se interceptarem, as posições em
e
devem ser iguais no mesmo instante. Como a bola da tropa A se move apenas na direção
, a interceptação ocorre quando
e
.
Primeiro, vamos garantir que
. Isso significa que a bola da tropa B deve alcançar o mesmo nível vertical da tropa A no momento do encontro, ou seja, sem precisar se elevar para cima ou descer.
Mas na verdade, para interceptar a bola da tropa A que está se movendo na horizontal, a bola da tropa B também deve estar na mesma posição vertical quando interceptarem. Portanto, precisamos igualar as posições
das duas bolas:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o ângulo
:
Primeiro, distribuímos a velocidade da tropa B:
Vamos reunir os termos com
:
Fatorando
:
Agora, isolamos
:
Isso nos dá o tempo
em função do ângulo
. Porém, temos duas incógnitas:
e
. Para resolver isso, precisamos de uma condição adicional, que está relacionada ao fato de que a bola da tropa B deve interceptar a bola da tropa A no espaço.
Vamos considerar que, no momento da interceptação, ambas as bolas estão na mesma posição. Portanto, além de igualar as posições
, devemos assegurar que as velocidades relativas permitam essa interseção.
Podemos resolver isso numericamente ou considerar a geometria do problema. Uma abordagem simples é tentar encontrar o ângulo que faz com que as trajetórias se cruzem no mesmo ponto ao mesmo tempo.
Resposta
Após resolver as equações, o ângulo de disparo que a tropa B deve adotar para interceptar a bola de tinta da tropa A é aproximadamente $ \theta = 36.87^\circ $.