Use a lei de Biot-Savart para obter a expressão que fornece o campo magnético gerado por um condutor retilíneo conduzindo corrente a uma distância vertical x do centro.

Passo 1

Então, a gente tem um fio retilíneo que está conduzindo uma corrente elétrica, e queremos descobrir qual é o campo magnético gerado por esse fio em um ponto que está a uma distância vertical $ x $ do centro do fio. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart, que é uma ferramenta fundamental na eletromagnetismo para calcular campos magnéticos produzidos por correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a Lei de Biot-Savart. Ela nos diz que o campo magnético $ \mathbf{B} $ gerado por um elemento de corrente $ I , d\mathbf{l} $ em um ponto no espaço é dado por:
B
Aqui, $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo, $ \mathbf{\hat{r}} $ é o vetor unitário que aponta do elemento de corrente para o ponto onde estamos calculando o campo, e $ r $ é a distância entre eles.

Passo 3

No nosso caso, o fio é retilíneo e infinito, então a simetria nos ajuda bastante. Vamos considerar um pequeno elemento de comprimento $ d\mathbf{l} $ no fio. A distância $ r $ do elemento até o ponto onde queremos o campo magnético é constante e igual a $ x $.

Passo 4

Como o fio é retilíneo e infinito, o campo magnético terá a mesma magnitude em todos os pontos a uma distância $ x $ do fio e circulará em torno do fio. Portanto, a direção do campo magnético é perpendicular ao plano formado pelo fio e o ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 5

Vamos integrar a expressão da Lei de Biot-Savart ao longo de todo o fio. Devido à simetria, a integral simplifica bastante. A contribuição de cada elemento $ d\mathbf{l} $ tem a mesma direção e sentido, então podemos fatorar os termos constantes da integral:
dl

Passo 6

Resolvendo a integral, percebemos que a soma das direções $ d\mathbf{l} \times \mathbf{\hat{r}} $ ao longo de todo o fio resulta em $ 2\pi $. Assim, temos:
dl times r

Resposta

O campo magnético gerado pelo fio retilíneo a uma distância $ x $ do centro é dado por:
x

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