Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Vetores.
Quais as propriedades das operações vetoriais?

Passo 1

O enunciado pede para listar e explicar as propriedades das operações vetoriais. Vou considerar as operações vetoriais mais usadas numa disciplina de exatas: adição de vetores, multiplicação por escalar, produto escalar (produto interno) e produto vetorial (cross, em \mathbb{R}^3). Não foram dadas outras informações, então vou cobrir cada operação, definir formalmente, provar/mostrar as propriedades e dar exemplos simples para aprender a aplicar na prova.

Passo 2

O que é um vetor (rápido, só para fixar notação). Um vetor em \mathbb{R}^n é uma sequência ordenada de números. Escrevemos por exemplo
\mathbf{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n),\qquad \mathbf{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n).
Cada u_i e v_i é uma componente real. Geometricamente, vetores representam deslocamentos; algébrica‑mente trabalhamos componente a componente.

Passo 3

Definição e exemplo de adição de vetores. A soma é definida componente a componente:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;\dots,\;u_n+v_n).
Exemplo numérico em \mathbb{R}^2: se \mathbf{u}=(1,2) e \mathbf{v}=(3,-1) então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(1+3,\;2+(-1))=(4,1).

Passo 4

Propriedades da adição (cada propriedade com explicação curta e, quando útil, verificação algébrica).
  • Fechamento: Se \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n.
    Explicação: soma de reais é real em cada componente, logo a tupla resultante está em \mathbb{R}^n.
  • Comutatividade:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}.
Prova: componente a componente u_i+v_i=v_i+u_i (comutatividade dos reais).
  • Associatividade:
(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}).
Prova: para cada componente a soma de três reais é associativa, logo vale para vetores.
  • Elemento neutro (vetor zero): existe \mathbf{0}=(0,0,\dots,0) tal que
\mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{u}.
Explicação: somando zero em cada componente nada muda.
  • Inverso aditivo: para cada \mathbf{u} existe -\mathbf{u}=(-u_1,-u_2,\dots,-u_n) tal que
\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=\mathbf{0}.
Explicação: soma componente a componente produz zeros.
Essas propriedades mostram que, com a adição e o vetor zero, temos uma estrutura de grupo abeliano sobre os vetores.

Passo 5

Definição e exemplo de multiplicação por escalar. Para \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n) define‑se
\alpha\,\mathbf{u}=(\alpha u_1,\;\alpha u_2,\;\dots,\;\alpha u_n).
Exemplo: com \alpha=2 e \mathbf{u}=(1,-3),
2\mathbf{u}=(2\cdot1,\;2\cdot(-3))=(2,-6).

Passo 6

Propriedades da multiplicação por escalar (com explicações e pequenas verificações).
  • Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
\alpha(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\alpha\mathbf{u}+\alpha\mathbf{v}.
Prova: componente a componente \alpha(u_i+v_i)=\alpha u_i+\alpha v_i.
  • Distributividade da soma de escalares sobre um vetor:
(\alpha+\beta)\mathbf{u}=\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{u}.
Prova: (\alpha+\beta)u_i=\alpha u_i+\beta u_i em cada componente.
  • Compatibilidade (associatividade) entre escalares:
\alpha(\beta\mathbf{u})=(\alpha\beta)\mathbf{u}.
Prova: \alpha(\beta u_i)=(\alpha\beta)u_i.
  • Elemento neutro escalar:
1\mathbf{u}=\mathbf{u}.
Prova: 1\cdot u_i=u_i.
  • Escalar zero produz vetor zero:
0\,\mathbf{u}=\mathbf{0}.
Prova: 0\cdot u_i=0 para cada componente.
  • Multiplicação por escalar do vetor zero:
\alpha\,\mathbf{0}=\mathbf{0}.
Prova: \alpha\cdot 0=0 componente a componente.
Essas propriedades, juntas com as da adição, caracterizam um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 7

Consequência prática: combinações lineares e propriedades usadas na prova. Uma combinação linear é da forma
\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}+\cdots
As propriedades acima permitem manipular essas expressões (fatorar escalares, distribuir, recolher termos), que é o que costuma aparecer em provas.

Passo 8

Produto escalar (produto interno) — definição, significado geométrico e propriedades. Para \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n,
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n.
Geométrico: também vale
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|\cos\theta,
onde \|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+\cdots+u_n^2} é a norma e \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Propriedades importantes do produto escalar:
  • Comutatividade:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}.
Porque u_iv_i=v_iu_i.
  • Distributividade:
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}.
Prova: expande componente a componente.
  • Compatibilidade com escalar:
(\alpha\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}=\alpha(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}).
  • Positividade (definida positiva):
\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=\|\mathbf{u}\|^2\ge 0,
e \mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=0 se e somente se \mathbf{u}=\mathbf{0}.
Aplicações: calcular ângulo, testar ortogonalidade (se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0 então \mathbf{u}\perp\mathbf{v}).
Exemplo simples em \mathbb{R}^2: \mathbf{u}=(1,2),\\ \mathbf{v}=(3,0). Então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1\cdot3+2\cdot0=3.
Normas: \|\mathbf{u}\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}, \|\mathbf{v}\|=\sqrt{3^2+0}=3. O cosseno do ângulo é \cos\theta=\dfrac{3}{\sqrt{5}\,3}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 9

Produto vetorial (apenas em \mathbb{R}^3) — definição, exemplos e propriedades principais. Para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Propriedades importantes:
  • Anticomutativo:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times\mathbf{u}).
  • Distributivo:
\mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\times\mathbf{v}+\mathbf{u}\times\mathbf{w}.
  • Compatibilidade com escalar:
(\alpha\mathbf{u})\times\mathbf{v}=\alpha(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(\mathbf{u}\times(\alpha\mathbf{v})).
  • Produto vetorial é ortogonal aos dois vetores:
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{u}=0,\qquad (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{v}=0.
  • Magnitude e área:
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|\;|\sin\theta|,
que corresponde à área do paralelogramo gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}.
  • Não é associativo geral: (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\times\mathbf{w}\neq \mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) em geral.
Exemplo rápido: usando vetores base \mathbf{e}_1=(1,0,0),\mathbf{e}_2=(0,1,0),\mathbf{e}_3=(0,0,1),
\mathbf{e}_1\times\mathbf{e}_2=\mathbf{e}_3,\qquad \mathbf{e}_2\times\mathbf{e}_1=-\mathbf{e}_3.

Passo 10

Resumo prático do que decorar para a prova (versão curta e aplicável):
  • Para adição: comutativa, associativa, existe \mathbf{0}, existe inverso aditivo.
  • Para multiplicação por escalar: distributiva sobre soma de vetores, distributiva sobre soma de escalares, associativa entre escalares, 1\mathbf{u}=\mathbf{u}, 0\mathbf{u}=\mathbf{0}.
  • Produto escalar: comutativo, distributivo, compatível com escalares, positivo‑definido, dá norma e ângulo.
  • Produto vetorial ( \mathbb{R}^3): anticomutativo, distributivo, compatível com escalares, resulta em vetor ortogonal aos dois, magnitude ligada a \sin\theta, não é associativo.

Resposta

Adição de vetores: fechadura; comutatividade \mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}; associatividade (\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}); elemento neutro \mathbf{0} com \mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{u}; inverso aditivo -\mathbf{u} com \mathbf{u}+(-\mathbf{u})=\mathbf{0}.
Multiplicação por escalar: distributividade sobre soma de vetores \alpha(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\alpha\mathbf{u}+\alpha\mathbf{v}; distributividade sobre soma de escalares (\alpha+\beta)\mathbf{u}=\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{u}; compatibilidade \alpha(\beta\mathbf{u})=(\alpha\beta)\mathbf{u}; identidade 1\mathbf{u}=\mathbf{u}; 0\mathbf{u}=\mathbf{0} e \alpha\mathbf{0}=\mathbf{0}.
Produto escalar: definição \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i}u_iv_i; comutatividade \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}; distributividade \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}; compatibilidade com escalar (\alpha\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}=\alpha(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}); \mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=\|\mathbf{u}\|^2\ge0; relação geométrica \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta.
Produto vetorial ( \mathbb{R}^3): definição por determinante/componentes; anticomutatividade \mathbf{u}\times\mathbf{v}=-\mathbf{v}\times\mathbf{u}; distributividade \mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\times\mathbf{v}+\mathbf{u}\times\mathbf{w}; compatibilidade com escalar (\alpha\mathbf{u})\times\mathbf{v}=\alpha(\mathbf{u}\times\mathbf{v}); \mathbf{u}\times\mathbf{v} é ortogonal a \mathbf{u} e a \mathbf{v}; \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\||\sin\theta|; não é associativo em geral.

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