Exercício 7. (Guidorizzi seção 6.3 exercício 2) Seja
um campo contínuo. Sejam
e
duas curvas de classe
tais que
. A afirmação
é falsa ou verdadeira? Justifique.
Passo 1
O enunciado diz que temos um campo contínuo
,
e duas curvas de classe ,
e
,
com a mesma imagem:
.
Pergunta-se se sempre vale
e duas curvas de classe
com a mesma imagem:
Pergunta-se se sempre vale
Vamos testar se essa afirmação é válida em geral ou se existe um contra-exemplo.
Passo 2
Lembre que, em geral, a integral de linha
depende da parametrização e especialmente da orientação e do número de voltas que a curva faz, quando não é um campo conservativo. Duas curvas com mesma imagem podem percorrê-la com orientações ou “multiplicidades” diferentes, levando a valores de integral distintos que não sejam nem iguais nem opostos.
depende da parametrização e especialmente da orientação e do número de voltas que a curva faz, quando
Passo 3
Construímos um contra-exemplo em
. Defina
que é contínuo em
e tem circulação
ao redor da origem.
Considere a curva unitária
dada por
Considere a curva unitária
Então
Passo 4
Agora defina outra parametrização da mesma circunferência, mas percorrendo duas voltas:
com
.
Essa curva tem a mesma imagem de , porém
Essa curva tem a mesma imagem de
que não é nem
nem
. Logo os valores das integrais não satisfazem nem
nem
.
nem
Resposta
A afirmação é falsa.