Exercício 7. (Guidorizzi seção 6.3 exercício 2) Seja f ; Omega subset R^n R^n um campo contínuo. Sejam gamma1:[a, b] Omega e gamma2:[c, d] Omega duas curvas de classe C^1 tais que Im(gamma1)=Im(gamma2). A afirmação
integral f d gamma1=integral f d gamma2 ou integral f d gamma1=-integral f d gamma2
é falsa ou verdadeira? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que temos um campo contínuo
f:OmegasubsetR^ntoR^n,
e duas curvas de classe C^1,
gamma1:[a,b]toOmega e gamma2:[c,d]toOmega,
com a mesma imagem:
Im(gamma1)=Im(gamma2).
Pergunta-se se sempre vale
integral fcdot dgamma1=integral fcdot dgamma2 ou integral fcdot dgamma1=-integral fcdot dgamma2
Vamos testar se essa afirmação é válida em geral ou se existe um contra-exemplo.

Passo 2

Lembre que, em geral, a integral de linha
integral fcdot dgamma
depende da parametrização e especialmente da orientação e do número de voltas que a curva faz, quando f não é um campo conservativo. Duas curvas com mesma imagem podem percorrê-la com orientações ou “multiplicidades” diferentes, levando a valores de integral distintos que não sejam nem iguais nem opostos.

Passo 3

Construímos um contra-exemplo em R^2setminus0. Defina
f(x,y) =l(-yx^2+y^2,;xx^2+y^2r),
que é contínuo em Omega=R^2setminus0 e tem circulação 2pi ao redor da origem.
Considere a curva unitária
gamma1:[0,2pi]toOmega dada por
gamma1(t)=(cos t,sin t)
Então
integralgamma1fcdot dgamma1 =integral0^2pi1,dt =2pi

Passo 4

Agora defina outra parametrização da mesma circunferência, mas percorrendo duas voltas:
gamma2:[0,2pi]toOmega com
gamma2(t)=(cos(2t),sin(2t)).
Essa curva tem a mesma imagem de gamma1, porém
integralgamma2fcdot dgamma2 =integral0^2pi2,dt =4pi,
que não é nem +2pi nem -2pi. Logo os valores das integrais não satisfazem nem
integral fcdot dgamma1=integral fcdot dgamma2
nem
integral fcdot dgamma1=-integral fcdot dgamma2.

Resposta

A afirmação é falsa.

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