Problema 49 Determine o quociente e o resto da divisão de P(x)=x^3-5 x^2+8 x-4 por T(x)=(x-1)(2 x-4).

Passo 1

O enunciado pede o quociente Q(x) e o resto R(x) da divisão de
P(x)=x^3-5x^2+8x-4
por
T(x)=(x-1)(2x-4)
O conteúdo é divisão de polinômios: como deg T=2, esperamos deg Q=1 e deg R<2.

Passo 2

Note que
T(x)=(x-1)(2x-4)=2x^2-6x+4,
então podemos escrever
R(x)=ax+b,
e pela identidade
P(x)=Q(x),T(x)+R(x)
vale que, para cada raiz r de T,
P(r)=R(r)

Passo 3

As raízes de T são x=1 e x=2. Calculando
P(1)=1-5+8-4=0, P(2)=8-20+16-4=0,
temos
R(1)=acdot1+b=0, R(2)=acdot2+b=0
Daí a=0 e b=0, isto é,
R(x)=0

Passo 4

Como o resto é zero, P(x) é múltiplo de T(x). Para achar Q(x) fazemos a divisão longa de
x^3-5x^2+8x-4
por
2x^2-6x+4
O primeiro termo do quociente é
x^32x^2=12x,
subtraindo obtemos -2x^2+6x-4. O segundo termo é
-2x^22x^2=-1,
e a subtração final dá resto zero. Logo
Q(x)=12x-1

Resposta

Quociente: 12x-1
Resto: 0

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