Determine a componente vertical da velocidade induzida (downwash) sobre uma asa de envergadura b em função da distância em relação à seção central da asa no caso em que a distribuição de circulação ao longo da envergadura é parabólica
Calcule o valor da velocidade induzida na seção central da asa e compare com o valor para uma distribuição de circulação elíptica gerando a mesma sustentação.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras: (i) determinar a componente vertical da velocidade induzida (downwash) sobre uma asa de envergadura b como função da posição y medida a partir da seção central, quando a distribuição de circulação é parabólica
(ii) calcular o valor dessa velocidade na seção central da asa (y=0); (iii) comparar esse valor com o caso em que a distribuição de circulação é elíptica, mas gera a mesma sustentação total.
Informações dadas que vamos usar explicitamente: \Gamma(y) acima, envergadura b; considere a expressão padrão da teoria da linha de sustentação para o downwash (ver passo seguinte). Não há outros dados numéricos — a resposta ficará em termos de \Gamma_{0} e b.
Passo 2
Fórmula básica que vamos usar (vinda da teoria de Prandtl / Biot–Savart para a linha de sustentação): a velocidade vertical induzida em y é dada pelo valor principal (principal value, PV)
Explicação didática: imagine a fila de vórtices ligados ao bordo de fuga; cada elemento de circulação \Gamma(y') produz uma velocidade vertical em y proporcional a 1/(y-y'). O integral deve ser tomado no sentido de principal value porque a integranda diverge quando y'=y; esse procedimento resolve a singularidade de forma consistente com a física (trailling vortices simétricos).
Passo 3
Para simplificar a álgebra, definimos s=\dfrac{b}{2} (metade da envergadura). Reescrevemos a circulação dada em termos de s:
Raciocínio (curto): separar em \int_{-s}^{y-\varepsilon}+\int_{y+\varepsilon}^{s}, fazer mudança de variável u=y-y' em cada trecho e tomar \varepsilon\to0; o resultado é o logaritmo mostrado (válido para |y|<s).
Passo 6
Cálculo da segunda integral com y'^{2}/(y-y'). Usamos divisão polinomial para reescrever o integrando de forma integrável term a term:
Verificação rápida: multiplicando (y-y') por - (y'+y) obtém-se y'^{2}-y^{2}, daí a identidade acima segue adicionando o termo remanescente \dfrac{y^{2}}{y-y'}. Agora integramos de -s a s:
Finalmente a velocidade induzida é w(y)=\dfrac{1}{4\pi}I(y). Substituindo s=\dfrac{b}{2} (portanto \dfrac{y}{s}=\dfrac{2y}{b} e \dfrac{y^{2}}{s^{2}}=\dfrac{4y^{2}}{b^{2}}) obtemos a expressão final, explícita em b:
Interpretação física curta: a distribuição de circulação é simétrica par em relação ao centro, e o termo integrando na fórmula do downwash é ímpar; por simetria o valor principal do integral em y=0 é zero.
Passo 10
Agora comparamos com a distribuição elíptica que gera a mesma sustentação total. Primeiro calculamos a sustentação total para a distribuição parabólica. A força de sustentação (por unidade de envergadura) ou a força total é
Velocidade induzida (downwash) para a distribuição elíptica é conhecida por ser uniforme ao longo da envergadura (propriedade clássica da distribuição elíptica). Podemos obter o valor constante a partir da relação clássica entre ângulo induzido e coeficiente de sustentação:
\alpha_{i}=\frac{C_{L}}{\pi\,AR},
onde w=U\alpha_{i}. Usando C_{L}=\dfrac{L}{\tfrac{1}{2}\rho U^{2}S} e AR=\dfrac{b^{2}}{S} (a área S cancela) obtemos uma expressão simples para o downwash uniforme:
w_{\text{ell}}=\frac{2L}{\rho U\pi b^{2}}.
Substituindo L vindo da distribuição parabólica (para que o comparativo use a mesma sustentação), isto é L=\rho U\Gamma_{0}\dfrac{2b}{3}, resulta
Conclusão comparativa: para a distribuição parabólica dada o downwash na seção central é nulo, w(0)=0. Para a distribuição elíptica que produz a mesma sustentação total, o downwash é uniforme e vale
w_{\text{ell}}=\frac{4\Gamma_{0}}{3\pi b}.
Portanto, o valor no centro para a distribuição parabólica é menor (no caso, zero) do que o valor correspondente para a distribuição elíptica (positivo e igual a \dfrac{4\Gamma_{0}}{3\pi b}). Fisicamente: a elíptica produz um downwash constante por toda a envergadura; a parabólica tem zero no centro mas varia com y segundo a fórmula do passo 8 (e atinge valores não nulos em outras posições).