Exercício - Houghton 5.4 (5
ed.)
Determine a componente vertical da velocidade induzida (downwash) sobre uma asa de envergadura b em função da distância em relação à seção central da asa no caso em que a distribuição de circulação ao longo da envergadura é parabólica
\Gamma=\Gamma_{0}\left(1-\frac{4 y^{2}}{b^{2}}\right)
Calcule o valor da velocidade induzida na seção central da asa e compare com o valor para uma distribuição de circulação elíptica gerando a mesma sustentação.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras: (i) determinar a componente vertical da velocidade induzida (downwash) sobre uma asa de envergadura b como função da posição y medida a partir da seção central, quando a distribuição de circulação é parabólica
\Gamma(y)=\Gamma_{0}\!\left(1-\frac{4y^{2}}{b^{2}}\right);
(ii) calcular o valor dessa velocidade na seção central da asa ( y=0); (iii) comparar esse valor com o caso em que a distribuição de circulação é elíptica, mas gera a mesma sustentação total.
Informações dadas que vamos usar explicitamente: \Gamma(y) acima, envergadura b; considere a expressão padrão da teoria da linha de sustentação para o downwash (ver passo seguinte). Não há outros dados numéricos — a resposta ficará em termos de \Gamma_{0} e b.

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar (vinda da teoria de Prandtl / Biot–Savart para a linha de sustentação): a velocidade vertical induzida em y é dada pelo valor principal (principal value, PV)
w(y)=\frac{1}{4\pi}\,\text{P.V.}\int_{-b/2}^{b/2}\frac{\Gamma(y')}{y-y'}\,dy'.
Explicação didática: imagine a fila de vórtices ligados ao bordo de fuga; cada elemento de circulação \Gamma(y') produz uma velocidade vertical em y proporcional a 1/(y-y'). O integral deve ser tomado no sentido de principal value porque a integranda diverge quando y'=y; esse procedimento resolve a singularidade de forma consistente com a física (trailling vortices simétricos).

Passo 3

Para simplificar a álgebra, definimos s=\dfrac{b}{2} (metade da envergadura). Reescrevemos a circulação dada em termos de s:
\Gamma(y)=\Gamma_{0}\!\left(1-\frac{y^{2}}{s^{2}}\right), \qquad y\in[-s,s].
Vamos calcular o integral
I(y)=\text{P.V.}\int_{-s}^{s}\frac{\Gamma(y')}{y-y'}\,dy' =\Gamma_{0}\,\text{P.V.}\int_{-s}^{s}\frac{1-\dfrac{y'^{2}}{s^{2}}}{y-y'}\,dy'.

Passo 4

Separei o integrando para trabalhar termo a termo:
I(y)=\Gamma_{0}\left[\text{P.V.}\int_{-s}^{s}\frac{1}{y-y'}\,dy' \;-\; \frac{1}{s^{2}}\text{P.V.}\int_{-s}^{s}\frac{y'^{2}}{y-y'}\,dy'\right].
Agora calculamos as duas integrais principais separadamente.

Passo 5

Cálculo da primeira integral (procedimento do valor principal). Usando substituição e somando as partes à esquerda e à direita da singularidade:
\text{P.V.}\int_{-s}^{s}\frac{1}{y-y'}\,dy' =\ln\!\left(\frac{y+s}{\,s-y\,}\right).
Raciocínio (curto): separar em \int_{-s}^{y-\varepsilon}+\int_{y+\varepsilon}^{s}, fazer mudança de variável u=y-y' em cada trecho e tomar \varepsilon\to0; o resultado é o logaritmo mostrado (válido para |y|<s).

Passo 6

Cálculo da segunda integral com y'^{2}/(y-y'). Usamos divisão polinomial para reescrever o integrando de forma integrável term a term:
\frac{y'^{2}}{y-y'} = -\big(y'+y\big) + \frac{y^{2}}{y-y'}.
Verificação rápida: multiplicando (y-y') por - (y'+y) obtém-se y'^{2}-y^{2}, daí a identidade acima segue adicionando o termo remanescente \dfrac{y^{2}}{y-y'}. Agora integramos de -s a s:
\text{P.V.}\int_{-s}^{s}\frac{y'^{2}}{y-y'}\,dy' = -\int_{-s}^{s}y' dy' - y\int_{-s}^{s}dy' + y^{2}\text{P.V.}\int_{-s}^{s}\frac{1}{y-y'}\,dy'.
Avaliação dos termos: \int_{-s}^{s}y'\,dy'=0 (paridade ímpar), \int_{-s}^{s}dy'=2s. Usando o resultado da Passo 5 para o último termo, obtemos
\text{P.V.}\int_{-s}^{s}\frac{y'^{2}}{y-y'}\,dy' = -2sy + y^{2}\ln\!\left(\frac{y+s}{s-y}\right).

Passo 7

Agora juntamos os resultados no I(y):
I(y)=\Gamma_{0}\left[\ln\!\left(\frac{y+s}{s-y}\right)\;-\;\frac{1}{s^{2}}\Big(-2sy + y^{2}\ln\!\big(\tfrac{y+s}{s-y}\big)\Big)\right].
Simplificando os termos:
I(y)=\Gamma_{0}\left[\left(1-\frac{y^{2}}{s^{2}}\right)\ln\!\left(\frac{y+s}{s-y}\right) + \frac{2y}{s}\right].

Passo 8

Finalmente a velocidade induzida é w(y)=\dfrac{1}{4\pi}I(y). Substituindo s=\dfrac{b}{2} (portanto \dfrac{y}{s}=\dfrac{2y}{b} e \dfrac{y^{2}}{s^{2}}=\dfrac{4y^{2}}{b^{2}}) obtemos a expressão final, explícita em b:
\boxed{\,w(y)=\dfrac{\Gamma_{0}}{4\pi}\left[\left(1-\dfrac{4y^{2}}{b^{2}}\right)\ln\!\left(\frac{y+\tfrac{b}{2}}{\tfrac{b}{2}-y}\right)+\frac{4y}{b}\right]\,}, \qquad |y|<\frac{b}{2}.
Essa é a componente vertical da velocidade induzida para a distribuição parabólica dada.

Passo 9

Avaliação no centro y=0. Substituindo y=0 na expressão:
\ln\!\left(\frac{0+\tfrac{b}{2}}{\tfrac{b}{2}-0}\right)=\ln(1)=0, \qquad \frac{4y}{b}\Big|_{y=0}=0.
Logo
\boxed{\,w(0)=0\,.}
Interpretação física curta: a distribuição de circulação é simétrica par em relação ao centro, e o termo integrando na fórmula do downwash é ímpar; por simetria o valor principal do integral em y=0 é zero.

Passo 10

Agora comparamos com a distribuição elíptica que gera a mesma sustentação total. Primeiro calculamos a sustentação total para a distribuição parabólica. A força de sustentação (por unidade de envergadura) ou a força total é
L=\rho U\int_{-s}^{s}\Gamma(y)\,dy =\rho U\Gamma_{0}\int_{-s}^{s}\left(1-\frac{y^{2}}{s^{2}}\right)dy.
Calculando a integral:
\int_{-s}^{s}1\,dy=2s,\qquad \int_{-s}^{s}\frac{y^{2}}{s^{2}}dy=\frac{2s^{3}}{3s^{2}}=\frac{2s}{3},
então
L=\rho U\Gamma_{0}\left(2s-\frac{2s}{3}\right)=\rho U\Gamma_{0}\frac{4s}{3}.
Usando s=\dfrac{b}{2} temos
\boxed{\,L=\rho U\Gamma_{0}\frac{2b}{3}\,.}

Passo 11

Agora a distribuição elíptica padrão (com mesmo envergadura) pode ser escrita como
\Gamma_{\text{ell}}(y)=\Gamma_{e}\sqrt{1-\frac{y^{2}}{s^{2}}}.
A sustentação total correspondente é
L=\rho U\int_{-s}^{s}\Gamma_{e}\sqrt{1-\frac{y^{2}}{s^{2}}}\,dy =\rho U\Gamma_{e}\left[s\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx\right].
Sabemos que \displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\frac{\pi}{2}, portanto
L=\rho U\Gamma_{e}\frac{\pi s}{2}=\rho U\Gamma_{e}\frac{\pi b}{4}.

Passo 12

Igualamos as duas sustentações para ter a elíptica que produz a mesma L:
\rho U\Gamma_{0}\frac{2b}{3}=\rho U\Gamma_{e}\frac{\pi b}{4} \quad\Rightarrow\quad \Gamma_{e}=\Gamma_{0}\frac{8}{3\pi}.

Passo 13

Velocidade induzida (downwash) para a distribuição elíptica é conhecida por ser uniforme ao longo da envergadura (propriedade clássica da distribuição elíptica). Podemos obter o valor constante a partir da relação clássica entre ângulo induzido e coeficiente de sustentação:
\alpha_{i}=\frac{C_{L}}{\pi\,AR},
onde w=U\alpha_{i}. Usando C_{L}=\dfrac{L}{\tfrac{1}{2}\rho U^{2}S} e AR=\dfrac{b^{2}}{S} (a área S cancela) obtemos uma expressão simples para o downwash uniforme:
w_{\text{ell}}=\frac{2L}{\rho U\pi b^{2}}.
Substituindo L vindo da distribuição parabólica (para que o comparativo use a mesma sustentação), isto é L=\rho U\Gamma_{0}\dfrac{2b}{3}, resulta
w_{\text{ell}}=\frac{2\big(\rho U\Gamma_{0}\dfrac{2b}{3}\big)}{\rho U\pi b^{2}} =\frac{4\Gamma_{0}}{3\pi b}.

Passo 14

Conclusão comparativa: para a distribuição parabólica dada o downwash na seção central é nulo, w(0)=0. Para a distribuição elíptica que produz a mesma sustentação total, o downwash é uniforme e vale
w_{\text{ell}}=\frac{4\Gamma_{0}}{3\pi b}.
Portanto, o valor no centro para a distribuição parabólica é menor (no caso, zero) do que o valor correspondente para a distribuição elíptica (positivo e igual a \dfrac{4\Gamma_{0}}{3\pi b}). Fisicamente: a elíptica produz um downwash constante por toda a envergadura; a parabólica tem zero no centro mas varia com y segundo a fórmula do passo 8 (e atinge valores não nulos em outras posições).

Resposta

w(y)=\frac{\Gamma_{0}}{4\pi}\left[\left(1-\frac{4y^{2}}{b^{2}}\right)\ln\!\left(\frac{y+\tfrac{b}{2}}{\tfrac{b}{2}-y}\right)+\frac{4y}{b}\right], \quad |y|<\frac{b}{2}.
w(0)=0.
w_{\text{elliptic (mesma sustentação)}}=\frac{4\Gamma_{0}}{3\pi b}.çã

Exercícios relacionados